Stammfunktionen

Wenn du dich mit Ableitungen beschäftigt hast, bist du Stammfunktionen bereits begegnet. Wenn wir nämlich eine Funktion ableiten, dann ist die ursprüngliche Funktion die Stammfunktion der abgeleiteten Funktion. Wenn wir betonen wollen, dass es sich um die Stammfunktion handelt, schreiben wir sie mit einem großen F: 

F(x)→Ableitung→F′(x)

oder auch:

F(x)→Ableitung→f(x)

Die Stammfunktion zu bestimmen ist also das Gegenteil davon, die Ableitung zu bilden. Das Gegenteil von „ableiten“ nennen wir „integrieren“, das Gegenteil von „Ableitung“ ist „Integration“. Somit kannst du schon erahnen, dass die Stammfunktion ein wichtiger Teil der Integralrechnung ist.

Wie kannst du nun die Stammfunktion einer Funktion bestimmen? Wir stellen uns die Frage: „Welche Funktion muss ich ableiten, um die gegebene Funktion zu erhalten?“ Für die Berechnung ist es wichtig, dass du sicher ableiten kannst. Mach dich daher bei Bedarf noch einmal gründlich mit den Ableitungsregeln vertraut.  

Nicht jede Funktion hat tatsächlich eine Stammfunktion. Jedoch wirst du in der Schule fast ausschließlich stetigen Funktionen begegnen, und diese haben immer eine Stammfunktion. Das Spannende: Jede Funktion hat nicht nur eine einzelne Stammfunktion, sondern unendlich viele. Das liegt daran, dass beim Ableiten eine Konstante C wegfällt.

Du siehst: Aus diesem Grund gibt es viele Möglichkeiten, wie die Stammfunktion einer Funktion aussehen kann – tatsächlich unendlich viele. Diese Menge an unendlich vielen Stammfunktionen nennt man das unbestimmte Integral einer Funktion.

Mathematisch sagen wir: Für jede stetige Funktion f(x) existiert eine unendliche Menge an Stammfunktionen F(x)+C. In diesem Zusammenhang nennen wir C die Integrationskonstante.

Mithilfe der Ableitungsregeln könntest du dir zumindest teilweise erschließen, wie die Berechnung der Stammfunktion funktioniert. Einfacher ist es aber, wenn du dir die entsprechenden Formeln merkst. Wir stellen sie dir zum besseren Verständnis anhand von Beispielen vor.  

Die Stammfunktionen von konstanten Funktionen sind sehr einfach zu bilden. Eine konstante Funktion hat die Form f(x)=k, wobei k ganz einfach eine beliebige Zahl ist. Also zum Beispiel:

f(x)=5

Die Stammfunktion hat die Form F(x)=x+C, wobei du für C wie erwähnt unendlich viele verschiedene Zahlen einsetzen kannst.

Das ist einfach, nicht wahr? Schauen wir uns als Nächstes die Potenzfunktionen an.  

Suchst du das Integral einer Potenzfunktion, solltest du unbedingt die Faktor- und Potenzregeln kennen. Damit lässt sich auch die folgende Formel besser verstehen:  

Das sieht auf den ersten Blick etwas kompliziert aus, ist aber eigentlich ganz einfach. Anhand eines Beispiels wirst du hier die typischen Ableitungsregeln erkennen: 

Für C haben wir jetzt einfach die Zahl 7 eingesetzt – es hätte aber auch jede andere sein können.

Wenn wir nun unsere gefundene Stammfunktion F(x) wieder nach den bekannten Regeln ableiten, erhalten wir unsere ursprüngliche Funktion:

F(x)=14x4+7

F′(x)=f(x)=4⋅14x3=x3

Wenn du die Stammfunktion von Potenzfunktionen bilden kannst, dann hast du bereits die Grundlagen für die Berechnung vieler weiterer Stammfunktionen.

Um Funktionen mit Brüchen zu integrieren, musst du an sich nicht einmal neue Regeln lernen. Denn: Du kannst Funktionen mit Brüchen in Potenzfunktionen umschreiben. Aus einem positiven Exponenten wird dabei ein negativer Exponent.

Auf diese Potenzfunktion kannst du nun die eben gelernten Regeln für die Bildung der Stammfunktionen anwenden. Nehmen wir als Beispiel folgende Gleichung:

f(x)=x−4

F(x)=13x−3+C

Von dieser Regel gibt es aber eine wichtige Ausnahme, und zwar für die Berechnung der Stammfunktion von f(x)=1x.

Warum?

1x könntest du auch mit negativem Exponenten schreiben als x−1. Wenn du allerdings x−1 auf die für Potenzfunktionen gezeigte Weise integrieren würdest, würde Folgendes passieren:

f(x)=x−1

F(x)=1−1+1x−1+1

An dieser Stelle erkennst du: Im Nenner würde hier eine Null entstehen. Da wir aber durch Null nicht teilen dürfen, müssen wir das vermeiden. Deshalb gibt es für diesen Fall noch weitere Integrationsregeln. In diesem speziellen Fall gilt und das ist wichtig, deshalb merkst du es dir am Besten einfach:

Auch Wurzelfunktionen lassen sich als Potenzfunktionen schreiben:

√x=x12

3√x=x13

3√x2=x23

n√xm=xmn

Das bedeutet, dass du auf die bereits bekannten Regeln zum Integrieren von Potenzfunktionen zurückgreifen kannst.

Möchtest du also zum Beispiel die Funktion f(x)=√x integrieren, dann gilt:

f(x)=√x=x12

F(x)=23x32=23√x3

Beachte wieder: Bei der Stammfunktion wäre es nun außerdem noch möglich, eine beliebige Zahl C zu addieren, denn diese fällt ja beim Ableiten weg.

Um das unbestimmte Integral einer Sinus- oder Cosinus-Funktion zu bilden, merkst du dir am besten die folgenden beiden Regeln. Dann musst du nämlich gar nicht viel rechnen, sondern kannst die Stammfunktion direkt aufschreiben.

Erinnerst du dich an die Ableitung der e-Funktion? Sie hat eine Besonderheit: Wenn du die e-Funktion ableitest, erhältst du als Ableitung wieder die e-Funktion. Somit wissen wir, dass auch die Stammfunktion dieselbe Form haben muss – eventuell wieder mit einer Konstante C dazu addiert.

Es gilt also:

f(x)=ex

F(x)=ex+C

Beispiel:

f(x)=ex

F(x)=ex+5

Das ist einfach oder? Allerdings: Wenn deine e-Funktion komplizierter ist, musst du ein wenig mehr rechnen. Lies dazu unsere Seite darüber, wie du die e-Funktion integrieren kannst.

Die Stammfunktion der ln-Funktion ist nicht ganz so einfach nachzuvollziehen. Daher lernst du die Form am besten auswendig:

Die folgende Tabelle hilft dir, wenn du die Formel für eine Stammfunktion noch nicht ganz im Kopf hast. Dann kannst du einfach hier nachschlagen: