Erwartungswert – online lernen

Zufallsvariablen

In vielen Beispielen haben wir schon mit Dingen wie der Anzahl von gezogenen Kugeln oder der Augenzahl von Würfeln gearbeitet. Solche Kenngrößen nennt man auch Zufallsvariable oder Zufallsgröße.

Beispiel: Ausgehend von einem fairen, 6-seitigen Würfel, der 2-mal geworfen wird, könnte man unter anderen folgende Zufallsvariablen definieren:

• Die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen
• Die Augenzahl beim ersten (oder zweiten) Wurf
• Das Produkt der beiden Augenzahlen

Eine Zufallsvariable ist eine Zuordnung auf dem Ergebnisraum. Die möglichen Ergebnisse des Experiments (in der Menge Ω) werden typischerweise reellen Zahlen zugeordnet:

X:Ω→R

Bei einer Urne mit farbigen Kugeln könnten wir zum Beispiel den möglichen Farben verschiedene Zahlenwerte zuordnen: Blau→1, Rot→2, etc.

Zusätzlich wird jedem Wert x einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet: Die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x annimmt. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir mit P(X=x).

Beispielaufgabe:

Wir werfen einen fairen Würfel einmal und definieren die Zufallsvariable X als die Augenzahl, x kann hier offenbar für jede Augenzahl des Würfels stehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass x=1,x=2,... eintritt?

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Nachdem nun Ergebnisse, Experimente, Ergebnisräume und auch die Laplace Eigenschaft betrachtet wurden, kann man sich einen ersten anschaulichen Wahrscheinlichkeitsbegiff überlegen.

Zunächst sollte man sich klarmachen, auf was sich der Wahrscheinlichkeitsbegriff beziehen soll. Die Antwort hierauf fällt leicht: Auf Ergebnisse bzw. Ereignisse.

So weit, so gut: Aber wie wollen wir die Wahrscheinlichkeit definieren und wie soll sie angegeben werden?

Aus dem realen Leben sind die vertrautesten Angaben wohl die Prozentangabe, sowie die Angabe als Verhältnis (eins zu zehn).

Beispielaufgabe:

Wie hoch ist die Regenwahrscheinlichkeit?

Diese Anschauungen sind sicherlich ausreichend um einfachste Probleme zu betrachten. Um aber eine fundierte Stochastik betreiben zu können, muss der Wahrscheinlichkeitsbegriff auf ein abstrakteres Level gehoben werden.

Hierzu ist es nötig, sich zunächst ein wenig mit Mengenlehre vertraut zu machen. Die nötigen Informationen können den Wikis zur Mengenlehre entnommen werden.

Erwartungswerte

Der Erwartungswert ist ein Merkmal der Zufallsvariablen. Er gibt an, wie groß eine Zufallsvariable erwartungsgemäß oder „im Durchschnitt“ ist. Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X ist definiert durch:

E(X)=∑ω∈ΩP(ω)⋅X(ω)

Diese Formel lässt sich leicht etwas anschaulicher beschreiben:
Jeder Wert x, den X annehmen kann, wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet (per Multiplikation) und die so erhaltenen Werte werden dann addiert.

Bemerkung: Bei einem Laplace Experiment mit n Ausgängen kann die Formel vereinfacht werden:

E(X)=X(ω1)+...+X(ωn)n

Beispielaufgaben:

Beispiel 1:

Sei die Zufallsvariable X die Augensumme eines fairen 6-seitigen Würfels.

Wie groß ist ihr Erwartungswert E(X) (d.h. die erwartete Augenzahl)?

Lösung:

E(X)=16⋅1+16⋅2+...+16⋅6=16⋅(1+2+3+4+5+6)=3,5

Bei Laplace-Experimenten ist es also sehr einfach, den Erwartungswert anzugeben, da alle Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und diese somit ausgeklammert werden kann.

Beispiel 2:

Sei X wieder die Augenzahl. Thomas hat jedoch einen Trick-Würfel, der statt einer 1 eine weitere 6 zeigt.

Wie hoch ist der Erwartungswert seines Würfels?

Lösung:

Die Chance der 6 hat sich verdoppelt, die 1 ist nun unmöglich zu werfen. Die übrigen Wahrscheinlichkeiten haben sich nicht geändert.

Es gilt also
E(X)=P(1)⋅1+P(2)⋅2+⋯+P(6)⋅6=0⋅1+16⋅2+16⋅3+16⋅4+16⋅5+26⋅6=16⋅(2+3+4+5)+26⋅6=146+126=4,¯3

Thomas' Würfel liegt bei der Augenzahl im Schnitt somit über der des fairen Würfels.

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff II

Der erste, sehr anschauliche Wahrscheinlichkeitsbegriff, der in dem gleichnamigen Wiki behandelt wurde, soll nun etwas formaler werden. Die Wahrscheinlichkeit soll ein Wert sein, der Ergebnissen oder Ereignissen einen Grad von Gewissheit zuordnet. Hierzu wird folgende Notation eingeführt:

Sei E ein Ereignis, dann bezeichnet P(E)=p die Wahrscheinlichkeit von E, die p beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit soll dabei zwischen 0 und 1 liegen, wobei gelten soll:

• 0 ist der dem unmöglichen Ereignis (∅) zugeordnete Wert
  (d. h. das Ereignis tritt zu 0% ein).
• 1 ist der dem sicheren Ereignis (Ω) zugeordnete Wert
  (d.h. das Ereignis tritt zu 100% ein).
  Hierbei bezeichnet Ω den gesamten Ergebnisraum, welcher als Gesamtheit aller Ereignisse aufgefasst werden kann. Es ist also egal, welches Ergebnis eintritt, da in diesem Fall ja alle Ergebnisse günstig sind.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei disjunkten (getrennten, unabhängigen) Ereignissen eintritt, soll der Summe der einzelnen Ereignisse entsprechen.

Beispielaufgabe:

Betrachte wieder den 6-seitigen Würfel mit Ergebnisraum Ω={1,2,3,4,5,6}.

Dann gilt:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 oder eine 2 gewürfelt wird, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten einer 1 bzw. einer 2 .
2. Als Formel bedeutet das: P({1,2})=P(1)+P(2)
3. Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl beträgt 16.
   Also beträgt unsere Wahrscheinlichkeit 16+16=13.

Ereignisse

Unter einem Ereignis versteht man im Allgemeinen eine Teilmenge des Ergebnisraumes, also eine Menge von Ergebnissen. Oft ist es so, dass ein Ereignis als Menge derjenigen Ergebnisse definiert ist, die eine bestimmte Eigenschaft teilen.

Beispielaufgabe:

Man würfle einen 6-seitigen Würfel.

1. Wie lautet der zugehörige Ergebnisraum?
2. Wie lässt sich das Ereignis A darstellen, dessen Bedingung lautet: „Alle gewürfelten Zahlen sind gerade.“?

Lösung:

1. Der Ergebnisraum lautet Ω={1,2,3,4,5,6}.
2. Das Ereignis kann als A={2,4,6} dargestellt werden.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von Ereignissen:

1. Ω: das sichere Ereignis (hierbei ist jedes Ereignis günstig, daher ganz Ω).

2. ∅: das unmögliche Ereignis (hierbei ist kein Ereignis günstig, daher ∅).

Ergebnisräume und Laplace

Sind bei einem Experiment alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace-Experiment. Ein solches Experiment hat dann die sogenannte Laplace-Eigenschaft.

Der Münzwurf oder der Wurf eines Würfels sind typische Beispiele für Laplace-Experimente. Sofern nicht getrickst wird, sind bei beiden Experimenten alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Beachte: Ein Laplace-Würfel muss nicht zwingend zu einem Laplace-Experiment führen. Es kommt auf den Ergebnisraum an, den wir zugrunde legen.
Als Beispiel betrachten wir die Summe der Augenzahlen aus zwei Münzwürfen.
Bei den einzelnen Würfen sind die Augenzahlen alle gleich wahrscheinlich.
Bilden wir jedoch aus beiden Augenzahlen die Summe, sind nicht alle vorkommenden Summen gleich wahrscheinlich. Denn die 7 lässt sich häufiger bilden (aus insgesamt sechs verschiedenen Kombinationen) als zum Beispiel die 2 (nur eine Kombination).

Beispielaufgabe:

Entscheide begründet, ob der genannte Ergebnisraum, der einem 6-seitigen Laplace-Würfel zugrundeliegt, zu einem Laplace-Experiment gehört.

1. Ω1={4; nicht 4}
2. Ω2={Primzahl; keine Primzahl}
3. Ω3={3 oder 4; nicht 3 oder 4}

Lösung:

1. Ω1 beschreibt kein Laplace-Experiment.
   Die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, ist kleiner als die Wahrscheinlichkeit, eine andere Zahl zu würfeln.
2. Ω2 beschreibt ein Laplace-Experiment.
   Es gibt bei den Zahlen von 1 bis 6 genau drei Primzahlen (2, 3 und 5) und genau drei Zahlen, die nicht prim sind (1, 4 und 6). Die Wahrscheinlichkeit, das eine oder das andere zu erhalten, ist also gleich.
3. Ω3 beschreibt kein Laplace-Experiment.
   Die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder 4 zu würfeln, ist kleiner als 1, 2, 5 oder 6 zu würfeln.

Experimente und Ergebnisräume

Der Wahrscheinlichkeitsberechnung liegt stets ein Experiment zugrunde. Prägnante Beispiele sind hier der Münzwurf, das Rollen eines Würfels oder das Drehen eines Glücksrads. Aber auch exotischere Sachverhalte wie radioaktiver Zerfall sind möglich.

Ein solches Experiment hat eine bestimmte Menge möglicher Ereignisse, deren Gesamtheit Ergebnisraum genannt wird. Die gängigste Bezeichnung für den Ergebnisraum lautet Ω.

Dieser Ergebnisraum muss für jedes Experiment einzeln und auf den jeweiligen Sachverhalt abgestimmt aufgestellt werden.

In der Regel (in der Schule immer) ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse, die dieser Raum enthält, endlich.

Die Elemente des Ergebnisraumes müssen, wie wir an den Beispielen sehen, keine Zahlen sein, sondern eben auf das jeweilige Experiment abgestimmte Ausdrücke.

Beispielaufgabe:

Gib den Ergebnisraum der folgenden Experimente an:

1. Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 3 roten, 4 blauen und 1 weißen Kugeln.
2. Das Würfeln mit einem 6-seitigen Würfel.
3. Das Werfen einer Münze.
   
   

Lösung:

1. Es gibt rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugeln, also: Ω={r,b,w}.
2. Es können, die Zahlen von 1 bis 6 auftreten, also: Ω={1,2,3,4,5,6}.
3. Es kann Kopf (k) oder Zahl (z) fallen, daher: Ω={k,z}.

Bemerkung:
Man kann sich in Beispiel a) überlegen, dass die Ereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind, da die Anzahl der verschiedenfarbigen Kugeln unterschiedlich ist.
Bei b) und c) hingegen sind alle Ereignisse gleich wahrscheinlich, man spricht dann von einem Laplace-Experiment (siehe dazu auch das Wiki „Ergebnisräume und Laplace“)