Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit die Werte eines Merkmals sich rund um den Mittelwert dieses Merkmals streuen. Wenn das noch etwas abstrakt klingt, keine Sorge: Wir erklären es dir gleich sehr genau an einem einfachen Beispiel. 

Die Standardabweichung wird in der Statistik verwendet und gehört zu den Streuungsmaßen. Streuungsmaße heißen so, weil sich damit die Streuung messen lässt. Was das bedeutet, wirst du ebenfalls gleich besser verstehen. Dazu schauen wir uns einmal an, was du mit der Standardabweichung machen kannst.

Wenn du Daten auswerten möchtest – zum Beispiel den Notenspiegel nach einer Klassenarbeit –, dann kannst du aus diesen einen Mittelwert errechnen. Bestimmt hast du das schon einmal gemacht. Der Mittelwert gibt dir aber nur einen einzigen Wert – einen Durchschnitt –, aus dem du noch nicht allzu viele Informationen ablesen kannst. Die Standardabweichung hilft dir, die Verteilung der Werte besser einzuschätzen.

Um beim Beispiel der Klassenarbeit zu bleiben: Am Mittelwert erkennst du, dass der Notendurchschnitt der Klassenarbeit beispielsweise bei 2,8 lag. Du weißt aber nicht, ob die meisten Schüler die Note 2 oder 3 erhalten haben oder ob es im Gegenteil sehr häufig die Note 1, aber auch häufig die Note 4 gab. Mithilfe der Standardabweichung kannst du darüber mehr herausfinden.

Einfach erklärt: Beide angenommenen Notenspiegel würden denselben Notendurchschnitt (Mittelwert) von 2,8 liefern. Doch für dich als Schüler oder Schülerin kann es ebenfalls interessant sein zu wissen, ob die meisten Schüler nah am Mittelwert lagen oder ob die Noten sich breit über das gesamte Spektrum verteilt haben. So kannst du auch deine eigene Leistung im Vergleich zum Klassendurchschnitt besser abschätzen.

Das ist nur ein Beispiel dafür, wann die Standardabweichung nützlich sein kann. Wann immer du einen Mittelwert errechnest, kannst du auch die Standardabweichung betrachten – zum Beispiel, wenn du 20-mal einen Würfel wirfst, wenn du an 10 Tagen misst, wie lange du für deinen Schulweg gebraucht hast, wenn du eine zufällige Stichprobe auswertest und so weiter.

Die Standardabweichung ist das Ergebnis, das du erhältst, wenn du die Wurzel aus der Varianz ziehst. Diesen Prozess gehen wir gleich Schritt für Schritt durch. 

Damit du die Standardabweichung berechnen kannst, brauchst du natürlich zunächst einen Mittelwert, auch arithmetisches Mittel genannt. Dieser bildet ja die Grundlage, auf der du die Standardabweichung überhaupt erst berechnen kannst, schließlich möchtest du mehr über die Streuung um den Mittelwert herum erfahren. Dieses arithmetische Mittel wird auch Erwartungswert genannt. 

Um die Standardabweichung zu ermitteln, gehst du folgende vier Schritte durch:

1. Du berechnest das arithmetische Mittel (den Durchschnitt). 
2. Du setzt die Werte, auf denen dieser Durchschnitt basiert, in die Formel für die Standardabweichung ein.
3. Du berechnest zunächst die Varianz.
4. Schließlich ziehst du die Wurzel aus der Varianz.

Für die Varianz gibt es eine Formel. Sie sieht auf den ersten Blick recht kompliziert aus, doch im Beispiel, das wir gleich dazu rechnen, wirst du schnell verstehen, wie sie funktioniert. 

Du weißt bereits, dass die Varianz Teil der Formel für die Standardabweichung ist. Schauen wir uns nun also die gesamte Formel an.

Um die Standardabweichung zu ermitteln, musst du nur die Wurzel aus der Varianz (VAR) ziehen:

σ=VAR−−−−√=∑ni=1(xi−μ)2⋅pi−−−−−−−−−−−−−−√$\sigma =\sqrt{\text{VAR}}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2\cdot p_i}$

Auch hier gilt wieder: 

xi$x_i$ = jeder einzelne ermittelte Wert

μ$\mu$ = das arithmetische Mittel dieser Werte

pi$p_i$ = die relative Häufigkeit des jeweiligen Werts

Damit du das gut verstehen kannst, betrachten wir jetzt die Anwendung der Formel für die Standardabweichung anhand eines Beispiels. 

Bleiben wir bei dem Beispiel einer Klassenarbeit. Folgende Noten wurden geschrieben: 

Wir gehen nun die oben beschriebenen vier Schritte durch, um zuerst das arithmetische Mittel (den Durchschnitt) und dann die Standardabweichung zu berechnen. 

Schritt 1: Arithmetisches Mittel berechnen

Um den Notendurchschnitt (arithmetisches Mittel) zu berechnen, müssen wir die Summe aller vergebenen Noten (4-mal Note 1 plus 8-mal Note 2 usw.) durch die Anzahl der vergebenen Noten teilen. Als Zeichen für den Mittelwert verwenden wir gleich den griechischen Buchstaben μ, der auch in der Formel für die Standardabweichung auftaucht:

μ=4⋅1+8⋅2+6⋅3+4⋅4+2⋅5+1⋅64+8+6+4+2+1=4+16+18+16+10+625=7025=2,8$\mu =\frac{4\cdot 1+8\cdot 2+6\cdot 3+4\cdot 4+2\cdot 5+1\cdot 6}{4+8+6+4+2+1}=\frac{4+16+18+16+10+6}{25}=\frac{70}{25}=2,8$

Der Notendurchschnitt liegt bei 2,8$2,8$. 

Schritt 2: Werte in die Formel für die Standardabweichung einsetzen

Folgende Werte xi$x_i$ bilden unsere Grundlage: 

x1=(Note)1$x_1=\text{(Note)}1$

x2=(Note)2$x_2=\text{(Note)}2$

x3=(Note)3$x_3=\text{(Note)}3$

x4=(Note)4$x_4=\text{(Note)}4$

x5=(Note)5$x_5=\text{(Note)}5$

x6=(Note)6$x_6=\text{(Note)}6$

Wir haben außerdem das arithmetische Mittel berechnet. In der Formel für die Standardabweichung wird dieser Wert auch als Erwartungswert μ$\mu$ bezeichnet:

μ=2,8$\mu =2,8$

Wir benötigen außerdem die relative Häufigkeit pi$p_i$. Diese beschreibt, wie oft jede Note geschrieben wurde:

p1=425$p_1=\frac{4}{25}$ (bedeutet: Note 1 kam in 25 Klassenarbeiten 4-mal vor.)

p2=825$p_2=\frac{8}{25}$ 

p3=625$p_3=\frac{6}{25}$ 

p4=425$p_4=\frac{4}{25}$ 

p5=225$p_5=\frac{2}{25}$ 

p6=125$p_6=\frac{1}{25}$ 

Diese Werte setzen wir nun in die Formel für die Standardabweichung ein. Dazu schreiben wir die Summenformel, die Teil der Formel ist, aus: 

σ=VAR−−−−√=∑ni=1(xi−μ)2⋅pi−−−−−−−−−−−−−−√$\sigma =\sqrt{\text{VAR}}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2\cdot p_i}$

σ=(x1−μ)2⋅p1+(x2−μ)2⋅p2+(x3−μ)2⋅p3+(x4−μ)2⋅p4+(x5−μ)2⋅p5+(x6−μ)2⋅p6−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷$\sigma =\sqrt{(x_1-\mu {)}^2\cdot p_1+(x_2-\mu {)}^2\cdot p_2+(x_3-\mu {)}^2\cdot p_3+(x_4-\mu {)}^2\cdot p_4+(x_5-\mu {)}^2\cdot p_5+(x_6-\mu {)}^2\cdot p_6}$

Lass dich nicht davon beeindrucken, wie lang diese Formel ist. Du kennst bereits alle Werte und kannst sie daher mühelos einsetzen:

σ=(x1−μ)2⋅p1+(x2−μ)2⋅p2+(x3−μ)2⋅p3+(x4−μ)2⋅p4+(x5−μ)2⋅p5+(x6−μ)2⋅p6−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷$\sigma =\sqrt{(x_1-\mu {)}^2\cdot p_1+(x_2-\mu {)}^2\cdot p_2+(x_3-\mu {)}^2\cdot p_3+(x_4-\mu {)}^2\cdot p_4+(x_5-\mu {)}^2\cdot p_5+(x_6-\mu {)}^2\cdot p_6}$

σ=(1−2,8)2⋅4+(2−2,8)2⋅8+(3−2,8)2⋅6+(4−2,8)2⋅4+(5−2,8)2⋅2+(6−2,8)2⋅125−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\sigma =\sqrt{\frac{(1-2,8{)}^2\cdot 4+(2-2,8{)}^2\cdot 8+(3-2,8{)}^2\cdot 6+(4-2,8{)}^2\cdot 4+(5-2,8{)}^2\cdot 2+(6-2,8{)}^2\cdot 1}{25}}$

Erklärung: Im Nenner steht die Zahl 25, da die relative Häufigkeit als Bruch angegeben wird: 425$\frac{4}{25}$, 825$\frac{8}{25}$ usw.

Prima! Nun können wir die Gleichung lösen. 

Schritt 3: Die Varianz berechnen

Wir rechnen zunächst die Varianz, also alles, was unter der Wurzel steht, aus:

σ=(1−2,8)2⋅4+(2−2,8)2⋅8+(3−2,8)2⋅6+(4−2,8)2⋅4+(5−2,8)2⋅2+(6−2,8)2⋅125−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\sigma =\sqrt{\frac{(1-2,8{)}^2\cdot 4+(2-2,8{)}^2\cdot 8+(3-2,8{)}^2\cdot 6+(4-2,8{)}^2\cdot 4+(5-2,8{)}^2\cdot 2+(6-2,8{)}^2\cdot 1}{25}}$

σ=(−1,8)2⋅4+(−0,8)2⋅8+(0,2)2⋅6+(1,2)2⋅4+(2,2)2⋅2+(3,2)2⋅125−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\sigma =\sqrt{\frac{(-1,8{)}^2\cdot 4+(-0,8{)}^2\cdot 8+(0,2{)}^2\cdot 6+(1,2{)}^2\cdot 4+(2,2{)}^2\cdot 2+(3,2{)}^2\cdot 1}{25}}$

σ=3,25⋅4+0,64⋅8+0,04⋅6+1,44⋅4+4,84⋅2+10,24⋅125−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\sigma =\sqrt{\frac{3,25\cdot 4+0,64\cdot 8+0,04\cdot 6+1,44\cdot 4+4,84\cdot 2+10,24\cdot 1}{25}}$

σ=12,96+5,12+0,24+5,76+9,68+10,2425−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$\sigma =\sqrt{\frac{12,96+5,12+0,24+5,76+9,68+10,24}{25}}$

σ=4425−−√$\sigma =\sqrt{\frac{44}{25}}$

Schritt 4: Die Wurzel ziehen

Schließlich müssen wir nur noch die Wurzel ziehen, um die Standardabweichung zu erhalten:

σ=4425−−√=1,76−−−−√≈1,32$\sigma =\sqrt{\frac{44}{25}}=\sqrt{1,76}\approx 1,32$

Die Standardabweichung liegt bei etwa 1,32$1,32$. 

Du hast nun die Standardabweichung ermittelt – aber welche Schlüsse kannst du daraus ziehen? Wenn die Standardabweichung bei 1,32$1,32$ liegt, dann bedeutet das, dass die meisten Noten im Bereich 2,8(Durchschnitt)±1,32$2,8\text{(Durchschnitt)}\pm 1,32$ lagen, also in einem Bereich von Note 1,48$1,48$ bis 4,12$4,12$. Das ist zwar noch immer ein recht großer Bereich, doch zumindest kannst du erkennen, dass die Noten 5$5$ und 6$6$ eher „Ausreißer“ waren. 

Eine größere Standardabweichung, etwa 1,8$1,8$, würde einen Bereich von 2,8±1,8$2,8\pm 1,8$ ergeben, also einen Notenbereich von 1,0$1,0$ bis 4,6$4,6$. In diesem Fall wüsstest du, dass die Noten deutlich breiter verteilt waren und es auch mehr schlechte Noten gab als in unserem Beispiel oben. 

Kurz: Mit der Standardabweichung berechnest du die durchschnittliche Abweichung aller berücksichtigten Werte vom Mittelwert. Alles klar? Wenn nicht, dann nutze unsere Online-Videos und unsere Übungen, um dein Wissen noch weiter zu vertiefen!