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Matrizen potenzieren – online lernen

Potenzieren von Matritzen ist wie in der Analysis eine mehrfache Multiplikation. Du kannst es benutzen, um beispielsweise einen Entwicklungsprozess von mehreren Jahren in einer Matrix darzustellen.

Wiki zum Thema: Matrizen potenzieren

Matrixpotenz


Potenziert man eine Matrix A, so entspricht dies einer wiederholten Multiplikation der Matrix mit sich selbst.

Potenzieren bedeutet also:

A0=EA1=AA2=AAA3=AAAAn=AAAAnmal

Da die Matrixmultiplikation nur bei passender Dimension definiert ist, kann man nur quadratische Matrizen (Dimension n×n;nN) potenzieren. Nur in Sonderfällen ist es sinnvoll, auch gebrochene n zuzulassen. Für invertierbare Matrizen kann ein negatives n zugelassen werden, denn An=(A1)n.

Beim Potenzieren von Matrizen können ungewohnte Fälle auftreten.
Zum Beispiel kann Ak=0 oder Ak=A ergeben. Das heißt, ab einer gewissen Potenz entsteht die Nullmatrix oder die ursprüngliche Matrix selbst.
Matrizen mit Ak=0 nennt man nilpotent und solche mit Ak=A idempotent.

Möchte man größere Potenzen von Hand ausrechnen bietet es sich immer an, Zwischenergebnisse von kleineren Potenzen wiederzuverwenden:

A7=(AAA)=A3A3A=(AA)=A2A2A2A

In beiden Fällen sind dann nur 4 statt 6 Multiplikationen notwendig.
Alle Exponenten addiert müssen dabei immer die ursprüngliche Potenz ergeben.



Beispielaufgabe:

Gegeben sind die Matrizen

A=(1110);B=(53215961064);C=(1500).

Berechne A3, B2 und C2.


Lösung:

A3=AAA=(1110)(1110)(1110)=(2111)(1110)=(3221)



B2=BB=(53215961064)(53215961064)=(2545+2015+27121018+875135+6045+81363054+245090+4030+54242036+16)=(000000000)

B ist nilpotent mit k=2

.

C2=CC=(1500)(1500)=(1+05+00+00+0)=(1500)=C

C ist idempotent mit k=2

.

Arbeitsblätter

Vektoren und Matrizen

Schwierigkeitsgrad: 1

Matrizen potenzieren

Serie 02


Aufgabe 1

Berechne die folgenden Matrixpotenzen. Nutze Gemeinsamkeiten von Potenzen um hohe Potenzen zu erhalten.

a)(1213)3
b)(100010001)10
c)(1001)20
d)(123123012)2
e)(53215961064)4
f)(3412)3


Aufgabe 2

Bestimme die Potenz der folgenden Matrizen, damit folgende Ergebnisse herauskommen.

a)(1234)x1=(375481118)
b)(1234)x2=(375481118)
c)(100020003)x3=(100032000243)
d)(100010001)x4=(100010001)


Aufgabe 3

Bestimme die Potenz der Matrix, so dass die Matrix nilpotent ist, falls sie nilpotent sein kann.

a)(012003000)x1
b)(000100230)x2
c)(0110)x3




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