Matrizen potenzieren – online lernen

Matrixpotenz

Potenziert man eine Matrix A$A$, so entspricht dies einer wiederholten Multiplikation der Matrix mit sich selbst.

Potenzieren bedeutet also:

Da die Matrixmultiplikation nur bei passender Dimension definiert ist, kann man nur quadratische Matrizen (Dimension n×n;n∈N$n\times n;n\in \mathbb{N}$) potenzieren. Nur in Sonderfällen ist es sinnvoll, auch gebrochene n$n$ zuzulassen. Für invertierbare Matrizen kann ein negatives n$n$ zugelassen werden, denn A−n=(A−1)n$A^{-n}=(A^{-1}{)}^n$.

Beim Potenzieren von Matrizen können ungewohnte Fälle auftreten.
Zum Beispiel kann Ak=0$A^k=0$ oder Ak=A$A^k=A$ ergeben. Das heißt, ab einer gewissen Potenz entsteht die Nullmatrix oder die ursprüngliche Matrix selbst.
Matrizen mit Ak=0$A^k=0$ nennt man nilpotent und solche mit Ak=A$A^k=A$ idempotent.

Möchte man größere Potenzen von Hand ausrechnen bietet es sich immer an, Zwischenergebnisse von kleineren Potenzen wiederzuverwenden:

A7=(A⋅A⋅A)=A3⋅A3⋅A=(A⋅A)=A2⋅A2⋅A2⋅A$A^7=\underset{=A^3}{\underbrace{\left(A\cdot A\cdot A\right)}}\cdot A^3\cdot A=\underset{=A^2}{\underbrace{\left(A\cdot A\right)}}\cdot A^2\cdot A^2\cdot A$

In beiden Fällen sind dann nur 4 statt 6 Multiplikationen notwendig.
Alle Exponenten addiert müssen dabei immer die ursprüngliche Potenz ergeben.

Beispielaufgabe:

Gegeben sind die Matrizen

A=(1110);B=⎛⎝⎜51510−3−9−6264⎞⎠⎟;C=(1050)$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right);B=\left(\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 15& -9& 6\\ 10& -6& 4\end{array}\right);C=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Berechne A3$A^3$, B2$B^2$ und C2$C^2$.

Lösung:

B$B$ ist nilpotent mit

C$C$ ist idempotent mit