Exponentialgleichungen – online lernen

Exponentialgleichungen

Substitution

Vor der Substitution versucht man die Gleichung so umzuformen, dass eine Potenz das Quadrat der anderen ist.

Bei Exponentialgleichungen, die Summen oder Differenzen im Exponenten haben, ist es zuerst wichtig, diese aufzutrennen und zwar nach den Potenzgesetzen.

Bei der Substitution ersetzt man die Potenz durch eine andere Variable (z.B. u).

Die neue Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel.

Anschließend muss die Substitution wieder rückgängig gemacht werden (z.B.: durch Logarithmieren).

Beispiel: Löse die Gleichung 42x+1−4x−6=0.

Exponentielles Wachstum

Neben ein paar anderen Wachstumsformen ist das exponentielle Wachstum eine der wichtigen Wachstumsformen. Wie bei allen exponentiellen Zusammenhängen ist hier die Variable im Exponenten. Die allgemeine Gleichung lautet:

• B(t)=B(0)⋅at
• B(t)=B(0)⋅ekt

B(t) bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt t , B(0)  ist der Anfangsbestand. a)  ist der Wachstumsfaktor und muss für ein Wachstum größer als 1 sein. Häufig verwendet man statt at lieber ekt. e ist die eulersche Zahl e=2,718281828, es gilt k=ln(a). Bei einem Wachstum ist k>0.  

Wird das Wachstum in Prozent mit dem Prozentsatz p angegeben, dann gilt:  

• a=1+p100

Ein Beispiel für exponentielles Wachstum ist die Vermehrung von Bakterien, deren Anzahl sich (wenn es die äußeren Umstände erlauben) in regelmäßigen Abständen verdoppelt.

Beispiel:  Bakterien bedecken in einer Petrischale zunächst 2 cm² . Die Fläche wächst täglich um 30 %. Wie lautet die Wachstumsfunktion?

Exponentieller Zerfall

Neben ein paar anderen Zerfallsformen ist der exponentielle Zerfall einer der wichtigen Zerfallsformen. Wie bei allen exponentiellen Zusammenhängen ist hier die Variable im Exponenten. Die allgemeine Gleichung lautet:

• Bt=B(0)⋅at oder
• B(t)=B(0)⋅ekt

B(t) bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt t, B(0) ist der Anfangsbestand. a ist der Zerfallsfaktor und muss für ein Zerfall zwischen 0 und 1 liegen. Häufig verwendet man statt at lieber ekt. e ist die eulersche Zahl e≈2,718281828, es gilt k=ln(a). Bei einem Zerfall ist k<0.

Wird der Zerfall in Prozent mit dem Prozentsatz p angegeben, dann gilt:

• a=1−p100

Ein Beispiel für exponentiellen Zerfall ist radioaktiver Zerfall. Der Bestand radioaktiver Substanzen halbiert sich in regelmäßigen Abständen.

Beispiel: Das radioaktive Isotop¹³⁷Cs zerfällt mit einer Rate von 2,2 % pro Jahr, nach einem Jahr sind also jeweils 2,2 % der ursprünglich vorhandenen Atome zerfallen. Wie lautet die Zerfallsfunktion?

Exponentialgleichungen

Bei Exponentialgleichungen steht die Variable im Gegensatz zu anderen Gleichungen im Exponenten.

Diese Art von Gleichungen muss, falls sie nicht im Kopf gerechnet werden kann, mit Hilfe des Logarithmus gelöst werden.

Beispiel: Löse 5x=125.

Beispiel: Löse 3x=12.

Umwandlung einer Exponential- in eine Logarithmusgleichung

Jede Exponentialgleichung kann in eine Logarithmusgleichung umgewandelt werden und umgekehrt.

Hat man eine einfache Exponentialgleichung ax=b,
kann man diese in eine Logarithmusgleichung umschreiben.
Diese lautet dann logab=x.

Aus der Gleichung 5x=125 wird damit z.B. log5125=x.
Bei dieser Umschreibung wird die Basis des Exponenten zur Basis des Logarithmus (hier: 5).
x ist das Ergebnis des Logarithmus, den wir suchen (wörtlich: „5 hoch wie viel ergibt 125?“).
Die Zahl, die bei der Exponentialgleichung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht (hier: 125), ist die Zahl, die logarithmiert wird.

Nach diesen Regeln kann man jede Exponentialgleichung in eine Logarithmusgleichung umwandeln und auch umgekehrt.

Beispielaufgabe:

Wandle die Gleichungen 3x=243 und log264=x um.

Lösung:

Man erhält log3243=x und 2x=64.