Aufleiten
Wenn Du wissen willst, wie du richtig aufleitest, dann bist Du hier genau richtig. Schau Dir das Video an oder steig direkt in den Text ein
Was bedeutet „aufleiten“?
Die Aufleitung von Funktionen benötigst du hauptsächlich in der Integralrechnung, also immer dann, wenn du den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen berechnen willst:
Um das unbestimmte Integral einer Funktion zu bilden, benötigst du die sogenannte Stammfunktion der Funktion. Hast du eine Funktion f(x) gegeben, dann nennen wir die Stammfunktion F(x) – also mit einem großen Buchstaben. Um diese Funktion zu finden, müssen wir unsere ursprüngliche Funktion aufleiten. Auf dieser Seite zeigen wir dir anhand von Beispielen, wie das geht, und weisen dich außerdem auf die wichtigsten Integrationsregeln hin.
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Der Unterschied zwischen Ableiten und Aufleiten
Bestimmt sind dir die Ableitungsregeln bereits bekannt. Du hast also schon einmal von der Produktregel, der Summenregel oder der Kettenregel gehört. Bei der Integration gibt es ganz ähnliche Regeln, zum Teil haben sie sogar dieselben Namen.
Was ist der Unterschied? Wenn du eine Funktion f(x) ableitest, erhältst du die abgeleitete Funktion f′(x).
Beispiel:
f(x)=3x2
f′(x)=6x
Doch was ist, wenn du die abgeleitete Funktion f′(x) gegeben hast und die ursprüngliche Funktion wiederherstellen möchtest? Dazu musst du die Funktion aufleiten. Man sagt auch: Du bildest ihre Stammfunktion. Da wir diesen Prozess umgangssprachlich auch „Aufleiten“ nennen, könnte man von „Aufleitungsregeln“ sprechen, gängiger ist aber der Begriff Integrationsregeln. Du bildest schließlich das Integral.
Schauen wir uns dazu ein ganz einfaches Beispiel an.
Eine konstante Funktion aufleiten
Eine konstante Funktion enthält in der Funktionsgleichung keine Variable, sondern einfach nur eine beliebige Zahl. So könnte eine konstante Funktion zum Beispiel aussehen:
f(x)=7
Wollen wir diese Funktion nun aufleiten, müssen wir uns fragen:
Welche Funktion müssten wir ableiten, um f(x)=7 zu erhalten?
Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie die Stammfunktion aussehen könnte:
F(x)=7x+3
F(x)=7x–4
F(x)=7x
Egal welche dieser Funktionen du ableitest, du erhältst immer die Funktion f(x)=7. Das liegt daran, dass beim Ableiten nach der Potenzregel nicht nur die Variable x wegfällt, sondern auch eine eventuell addierte oder subtrahierte Konstante. Das bedeutet aber auch, dass es unendlich viele verschiedene Möglichkeiten gibt, eine solche konstante Funktion aufzuleiten. Deshalb musst du bei der Integration immer berücksichtigen, dass eine Integrationskonstante C dabei sein könnte.
Die allgemeine Formel, um eine konstante Funktion aufzuleiten, lautet daher:
f(x)=k
F(x)=∫kdx=kx+C
Sowohl k als auch C können beliebige Zahlen sein.
Alles klar bis hierher? Wenn du dich noch unsicher fühlst, kannst du auf einer anderen Seite alles über Stammfunktionen nachlesen.
Aufleiten mit den wichtigsten Integrationsregeln
Um Funktionen abzuleiten, gibt es Ableitungsregeln – um sie zu integrieren (also aufzuleiten), gibt es Integrationsregeln. Zu den einfachsten und wichtigsten gehören die Faktor- und die Potenzregeln. Diese wirst du beim Bilden von Integralen immer und immer wieder brauchen.
Die Potenzregel lautet:
∫xndx=1n+1xn+1+C
Beispiel:
f(x)=x2
F(x)=∫x2dx=12+1x2+1=13x3+C
Für die Integrationskonstante C ist jede beliebige Zahl möglich – denn sie fällt beim Ableiten sowieso weg, sodass es unendlich viele Möglichkeiten gibt.
Die Faktorregel, die ebenfalls sehr wichtig ist, bedeutet lediglich, dass ein konstanter Faktor beim Integrieren erhalten bleibt. Du kannst ihn einfach vor das Integral ziehen. So kannst du ungestört den Rest der Funktion aufleiten. Schauen wir uns das Beispiel von oben noch einmal mit einem Faktor an:
f(x)=3x2
F(x)=∫3x2dx=3⋅∫x2dx=3⋅12+1x2+1=3⋅13x3+C=x3+C
Diese beiden Regeln wirst du beim Aufleiten sehr häufig anwenden.
Außerdem wird dir sicher die Summenregel begegnen. Auch sie ist ganz einfach zu nutzen. Sie besagt lediglich, dass du bei einer Polynomfunktion, die aus einer Summe mehrerer Polynome besteht, jedes Polynom einzeln aufleiten und anschließend wieder alle Summanden addieren kannst.
Beispiel:
f(x)=3x3+2x2+x
Hier siehst du eine Summe aus drei Polynomen, nämlich:
- 3x3
- 2x2
- x
Laut der Summenregel darfst du nun jedes Polynom einzeln aufleiten und anschließend die Summe bilden. Achtung: Vergiss auch hier nicht, dass eine Integrationskonstante C hinzukommt! Wir schreiben also:
F(x)=∫3x3dx+∫2x2dx+∫x+C
F(x)=3⋅14x4+2⋅13x3+12x2+C
F(x)=34x4+23x3+12x2+C
Zur Probe könntest du diese Stammfunktion nun wieder ableiten und prüfen, ob du deine ursprüngliche Funktion erhältst:
F(x)=34x4+23x3+12x2+C
f(x)=3x3+2x2+x
Die Summenregel heißt in anderer Form auch Differenzregel, nämlich dann, wenn du aus den einzelnen Polynomen keine Summe, sondern eine Differenz bildest. Es kann auch passieren, dass du in einer Funktion sowohl Summanden als auch Subtrahenden vorfindest. Das macht aber gar nichts: Leite einfach jedes Polynom einzeln auf und lasse die Vorzeichen so stehen wie in der ursprünglichen Funktion.
Aufleiten mit komplexeren Integrationsregeln
Vom Ableiten kennst du bereits die etwas komplexere Produktregel und die Kettenregel. Diese haben ihre Gegenstücke auch beim Aufleiten:
- Wenn die Funktion, die du aufleiten sollst, aus einem Produkt mehrerer Teilfunktionen besteht, musst du die partielle Integration nutzen. Dieses Verfahren wird auch Produktintegration genannt.
- Wenn die Funktion, die du aufleiten sollst, aus miteinander verketteten Funktionen besteht, kannst du die Integration durch Substitution durchführen. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn du gebrochenrationale Funktionen aufleiten sollst. Auch wenn eine e-Funktion mit einer weiteren Funktion verknüpft ist, was häufig vorkommt, brauchst du dieses Verfahren.
Was erhältst du nicht, wenn du eine Funktion aufleitest?