Gerade ~ Gerade Abstand – online lernen
Hier lernst du, wie du mit Hilfe von Vektoren den Abstand zwischen einer Geraden und einer anderen Geraden berechnen kannst.
Abstand paralleler Geraden
Den Abstand zweier paralleler Geraden g und h berechnet man wie im Fall Abstand Punkt-Gerade. Man wählt einen beliebigen Punkt A der Geraden und bestimmt den Abstand von A zu h.
Skizze:
Beispielaufgabe:
Bestimme den Abstand der Geraden:
g:→x=(10−108)+t⋅(6−82),h:→x=(294)+s⋅(3−41)
Abstand windschiefer Geraden –
Hessesche Normalform (HNF)
Den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h berechnet man mit:
g:→x=→p+t⋅→u,h:→x=→q+s⋅→v
d(g;h)=|(→q−→p)⋅→n0|
Wobei →n0 ein Vektor ist, der zu beiden Geraden senkrecht steht und normiert ist:
→n0⋅→u=→n0⋅→v
|→n0|=1
Begründung: Man konstruiert eine Hilfsebene, die die eine Gerade enthält und zur anderen parallel ist. Anschließend berechnet man mithilfe der Hesseschen Normalform den Abstand eines Punktes Q der Geraden h zur Hilfsebene HNF:
E:(→x−→p)⋅→n0=0
d(g;h)=|(→q−→p)⋅→n0|
Beispielaufgabe:
Berechne den Abstand der windschiefen Geraden g und h:
g:→x=(3−24)+t⋅(41−1),h:→x=(2−47)+s⋅(20−1)
Gerade ~ Gerade 01_1
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 12364
Gerade ~ Gerade
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 7059
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 1165
| Abstände Gerade ~ Gerade | Schwierigkeitsgrad 1 Serie 1 |
Aufgabe 1
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
| Aussage | wahr | falsch | |
| a) | Es ist nicht möglich, den Abstand zweier sich schneidender Geraden zu errechnen. | ||
| b) | Der Abstand zweier Geraden kann an jedem beliebigen Punkt von einer Geraden zur anderen errechnet werden. | ||
| c) | Der Abstand zweier paralleler Geraden kann an jedem beliebigen Punkt von einer Geraden zur anderen errechnet werden. | ||
| d) | Zwischen zwei windschiefen Geraden ist eine Abstandsmessung an mehreren Punkten möglich | ||
| e) | Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden ist überall konstant. |
Aufgabe 2
Berechne den Abstand der parallelen Geraden g
| a) | g:→x=(334)+r⋅(101); | h:→x=(025)+r⋅(303) |
| b) | g:→x=(4−4−1)+r⋅(134); | h:→x=(5−13−1)+r⋅(−2−6−8) |
| c) | g:→x=(2−12)+r⋅(1−21); | h:→x=(13−1)+r⋅(−12−1) |
| d) | g:→x=(052)+r⋅(120); | h:→x=(482)+r⋅(−2−40) |
| e) | g:→x=(272)+r⋅(110); | h:→x=(341)+r⋅(−3−30) |
| f) | g:→x=(222)+r⋅(534); | h:→x=(151)+r⋅(534) |
Aufgabe 3
Berechne die Abstände der windschiefen Geraden g
| a) | g:→x=(212)+r⋅(304); | h:→x=(234)+r⋅(6010) |
| b) | g:→x=(3−24)+r⋅(82−2); | h:→x=(2−47)+r⋅(60−3) |