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Gerade ~ Gerade

Gerade ~ Gerade Abstand – online lernen

Hier lernst du, wie du mit Hilfe von Vektoren den Abstand zwischen einer Geraden und einer anderen Geraden berechnen kannst.

Wiki zum Thema: Gerade ~ Gerade

Abstand paralleler Geraden

Den Abstand zweier paralleler Geraden $g$ und $h$ berechnet man wie im Fall Abstand Punkt-Gerade. Man wählt einen beliebigen Punkt $A$ der Geraden und bestimmt den Abstand von $A$ zu $h$ .

Skizze:

Beispielaufgabe:

Bestimme den Abstand der Geraden:

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \\ 8 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 8 \\ 2 \end{matrix}), h : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 9 \\ 4 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix})$

Abstand windschiefer Geraden –
Hessesche Normalform (HNF)

Den Abstand zweier windschiefer Geraden $g$ und $h$ berechnet man mit:

$g : \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}, h : \vec{x} = \vec{q} + s \cdot \vec{v}$

$d (g; h) = | (\vec{q} - \vec{p}) \cdot \vec{n_{0}} |$

Wobei $\vec{n_{0}}$ ein Vektor ist, der zu beiden Geraden senkrecht steht und normiert ist:

$\vec{n_{0}} \cdot \vec{u} = \vec{n_{0}} \cdot \vec{v}$

$| \vec{n_{0}} | = 1$

Begründung: Man konstruiert eine Hilfsebene, die die eine Gerade enthält und zur anderen parallel ist. Anschließend berechnet man mithilfe der Hesseschen Normalform den Abstand eines Punktes $Q$ der Geraden $h$ zur Hilfsebene HNF:

$E : (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n_{0}} = 0$

$d (g; h) = | (\vec{q} - \vec{p}) \cdot \vec{n_{0}} |$

Beispielaufgabe:

Berechne den Abstand der windschiefen Geraden $g$ und $h$ :

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), h : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 7 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$

Arbeitsblätter

Gerade ~ Gerade 01_1
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 12364
Gerade ~ Gerade
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 7059
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 1165
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 12365
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 7060
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 1166
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 12366
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 7061
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 1167

Abstände

Gerade ~ Gerade

Schwierigkeitsgrad 1
Serie 1

Aufgabe 1

Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?

	Aussage	wahr	falsch
a)	Es ist nicht möglich, den Abstand zweier sich schneidender Geraden zu errechnen.
b)	Der Abstand zweier Geraden kann an jedem beliebigen Punkt von einer Geraden zur anderen errechnet werden.
c)	Der Abstand zweier paralleler Geraden kann an jedem beliebigen Punkt von einer Geraden zur anderen errechnet werden.
d)	Zwischen zwei windschiefen Geraden ist eine Abstandsmessung an mehreren Punkten möglich
e)	Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden ist überall konstant.

Aufgabe 2

Berechne den Abstand der parallelen Geraden

g

und

h

. Stelle hierbei eine Hilfsebene senkrecht zur Geraden g durch den Aufpunkt

A

von

g

auf, berechne den Schnittpunkt

S

der Ebene mit der Geraden

h

und errechne den Abstand

| \vec{A S} |

- dies entspricht dann dem Abstand der beiden Geraden.

a)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix});$	$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$
b)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ - 4 \\ - 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix});$	$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 5 \\ - 13 \\ - 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \\ - 8 \end{matrix})$
c)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix});$	$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})$
d)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix});$	$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})$
e)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix});$	$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})$
f)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{matrix});$	$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$

Aufgabe 3

Berechne die Abstände der windschiefen Geraden

g

und

h

a)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix});$	$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 10 \end{matrix})$
b)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix});$	$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})$

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