Punkt ~ Ebene Abstand – online lernen

Abstande Punkt – Ebene mit der
Hesseschen Normalform (HNF)

Den Abstand d eines Punktes A(a1,a2,a3) zu einer Ebene E:(→x−→p)⋅→n=0 kann mit der Hesseschen Normalform berechnet werden:

d(A;E)=|(→OA−→p)⋅n0|

Falls die Ebene in Koordinatenform vorliegt, kann auch daraus eine Abstandsformel hergestellt werden. Der Punkt wird in die Koordinaten x1,x2,x3 der Koordinatenform eingesetzt und die gesamte Gleichung durch die Länge des Normalenvektors (an den Koeffizienten ablesbar) geteilt:

d(A;E)=|n1a1+n2a2+n3a3−d√n21+n22+n23|

Mit dieser Methode kann man den Lotfußpunkt L, zu dem der Abstand letztlich berechnet wird, nicht bestimmen. Dafür benötigt man eine andere Methode, z. B. eine Hilfsgerade durch A senkrecht zu E, die die Ebene dann in L schneidet.

Beispielaufgabe:

Bestimme den Abstand der Punkte A(8,10,−5),B(0,4,−4) und C(3,1,−6) von der Ebene E:12x1+5x3=6.

Abstand Punkt – Ebene
Hilfsgerade

Den Abstand d eines Punktes von einer Ebene A(a1,a2,a3) kann man mit einer Hilfsgeraden berechnen. Man konstruiert eine Gerade h:→x=→p+r⋅→u und durchläuft nachfolgendes Schema:

1. Wähle →OA als Stützvektor →p und den Normalenvektor →n der Ebene als Richtungsvektor →u der Geraden h.
2. Schneiden von h mit E  liefert den Lotfußpunkt L,(g∩E=L) .
3. Bestimme den Vektor →AL.
4. d(A;E)=d(A;L)=|→AL|
   

Beispielaufgabe:

Bestimme den Abstand von A(8,10,−5) zur Ebene E:12x1+5x3=6.