Grenzmatrix – online lernen

Austauschprozesse / Stochastische Matrix / Übergangsmatrix / Prozessmatrix

Schwierigkeitsgrad: 1

Grenzmatrix

Serie 03

Aufgabe 1

Eine Population von Insekten enthält Tiere mit zwei verschiedenen Merkmalen A$A$ und B$B$. Beobachtungen über längere Zeit zeigten, dass Insekten mit Merkmal A$A$ zu 70%$70\mathrm{\%}$ Nachkommen mit Merkmal A$A$ und zu 30%$30\mathrm{\%}$ solche mit Merkmal B$B$ haben. Insekten mit Merkmal B$B$ haben zu 80%$80\mathrm{\%}$ wieder Nachkommen mit diesem Merkmal und folglich 20%$20\mathrm{\%}$ mit dem Merkmal A$A$. Die Vermehrungsrate wird durch die Merkmale nicht beeinflusst.

a) Stelle zu dem beschriebenen Prozess die passende Matrix auf und erkläre, wieso es sich um einen Übergangsprozess handelt.

Berechne A2$A^2$ und A4$A^4$. Tipp:A4=A2⋅A2$A^4=A^2\cdot A^2$ !

b) Was erwartest du, wenn du noch höhere Potenzen berechnest?

Aufgabe 2

Beantworte die nachstehenden Fragen.

a) Was ist eine Grenzmatrix?

b) Wie kann ich die Grenzmatrix bestimmen?

c) Welche Eigenschaften hat eine Grenzmatrix?

Aufgabe 3

Berechne die Grenzmatrizen der folgenden Matrizen.

a) A=(0,10,90,60,4)$A=\left(\begin{array}{cc}0,1& 0,6\\ 0,9& 0,4\end{array}\right)$,B=⎛⎝⎜0,50,20,30,30,50,20,20,30,5⎞⎠⎟$B=\left(\begin{array}{ccc}0,5& 0,3& 0,2\\ 0,2& 0,5& 0,3\\ 0,3& 0,2& 0,5\end{array}\right)$

b) Existiert die Grenzmatrix der Einheitsmatrix E=(1001)$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$? Schreib zunächst eine Vermutung auf, bestimme anschließend E2$E^2$ sowie E4$E^4$ und erkläre, das Ergebnis.