Matrizen berechnen – online lernen

Produktionsprozesse

Produktions- oder Fertigungsprozesse lassen sich sehr gut mit Hilfe von Matrizen beschreiben.

Die Grundidee dabei ist, dass die Matrix eine bestimmte Menge an Rohstoffen in eine bestimmte Menge an Produkten überführt.

Solche Produktionsprozesse können auch mehrstufig sein, d.h. zunächst gibt es eine Matrix, die eine bestimmte Menge an Rohstoffen in eine bestimmte Menge an Zwischenprodukten überführt und diese von einer weiteren Matrix in die Endprodukte (oder weitere Zwischenprodukte) überführt werden.

Eine solche Matrix wird Produktionsmatrix genannt.

Solche Prozesse lassen sich sowohl in Textform, als auch als Graph darstellen. Beide Darstellungen lassen sich in eine Matrix überführen, mit der dann gerechnet werden kann.

Einige allgemeine Punkte:

• Eine Produktionsmatrix muss nicht quadratisch sein.
• Sie hat so viele Zeilen, wie Ausgangsprodukte und...
• ... so viele Spalten, wie Zielprodukte.

Merke: Wir notieren die Dimension einer Matrix mit Zeilen x Spalten .

Beispielaufgabe:
Ein Unternehmen stellt in einem ersten Produktionsschritt aus drei Rohstoffen vier Sorten Dünger her. Daraus werden dann in einem zweiten Schritt drei verschiedene Düngermischungen gemacht werden.

a) Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix, die den Produktionsschritt “Rohstoffe→Dünger” beschreibt?

b) Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix, die den Produktionsprozess “Dünger→Düngermischungen” beschreibt?

Produktionsprozesse III

Nun wollen wir den bereits bekannten Graphen, der die Produktion unserer Düngermischungen beschreibt, in eine Matrix überführen.

Wir beginnen damit, eine Matrix aufzustellen, die den Prozess ’Rohstoffe→Dünger’ beschreibt, ehe wir auch die Matrix ’Dünger→Düngermischung’ erstellen. Diese Matrix nennen wir MRD bzw.MDM.

Hierzu gehen wir wie folgt vor:

• Die Zeilen stehen je für einen Rohstoff
• Die Spalten für einen Dünger
• Der Eintrag an der Stelle ZeilexSpalte gibt an, wie viel von dem Rohstoff der entsprechenden Zeile für den Dünger der zugehörigen Spalte benötigt wird.

Beispielaufgabe:

a) Wie lautet die Matrix für den Schritt ’Rohstoff→Dünger’?

b) Wie lautet die Matrix für den Schritt ’Dünger→Düngermischung’?

Produktionsprozesse II

Im ersten Dokument der Reihe zu Produktionsprozessen wurde bereits ein Unternehmen angesprochen, welches Düngermischungen herstellt. Auf Basis dieser Idee soll nun ein Produktionsprozess Stück für Stück untersucht werden.

Zunächst gehen wir genauer auf den Prozess ein:

Beispielaufgabe:

Was sagt der folgende Graph über den Produktionsprozess aus?

Produktionsprozesse IV

In Teil III der Wiki Serie haben wir die Matrizen zum Darstellen der einzelnen Produktionsschritte hergeleitet.

Zur Erinnerung noch einmal Graph und Matrizen:

MRD=(210003100012),MDM=(10512001)

Nun kann man sich die Frage stellen, ob es möglich ist, eine Matrix zu finden, die den Gesamtprozess beschreibt, also die Dünger auslässt und direkt von den Rohstoffen zum Endprodukt (den Düngermischungen) springt.

Da diese Matrix drei Ausgangsstoffe und 2 Zielstoffe hat, müsste es folglich eine 3x2-Matrix sein.

Durch die Matrizenmultiplikation wissen wir, dass das Produkt einer 3x4-Matrix mit einer 4x2-Matrix eine eben solche 3x2-Matrix sein muss.

Daher multipliziert man die Teilprozesse der Matrizen:

MRM=MRD⋅MDM=(210003100012)⋅(10512001)=(7117322)

Man benötigt also 7 Einheiten R₁, 17 Einheiten R₂und 2 Einheiten R₃um eine Einheit M₁herzustellen. Man benötigt für M₂eine Einheit R₁, drei Einheiten R₂und zwei Einheiten R₃.

Im nächsten Wiki wird noch eine typische Beispielaufgabe besprochen.

Produktionsprozesse V

Wir haben nun also die Produktionsmatrix (oder auch Bedarfsmatrix) unseres Sachbeispiels herausgefunden.

Zur Erinnerung: MRM=(7117322) beschreibt den Prozess von Rohstoffen bis zum Endprodukt (den Düngermischungen).

Mit dieser Matrix können wir z.B. leicht herausfinden, wie viele Rohstoffe wir benötigen, um eine bestimmte Menge an Endprodukten zu erhalten.

Beispielaufgabe:
Wie viele Rohstoffe werden benötigt, um 200 Einheiten M₁, sowie 300 Einheiten M₂herzustellen?

Vorüberlegung:

Wir stellen unsere gewünschte Zielmenge als Vektor dar:

→vm=(200300)

Diesen Vektor können wir mit der Matrix multiplizieren.

Übergangsprozesse I

Ein Austauschprozess ist ein Prozess, der – stark vereinfacht ausgedrückt – den Wechsel von Zuständen oder auch Verteilungen beschreibt.

So könnte man z. B. betrachten, wie sich monatlich die Kunden zwischen verschiedenen Bekleidungsgeschäften hin und her verschieben. Denkbar wäre aber auch, den (voraussichtlichen) Aufenthaltsort z. B. einer Person zu beschreiben.

Solche Prozesse lassen sich stets durch Matrizen, sogenannte Übergangsmatrizen, beschreiben. Diese Matrizen sind stets quadratisch, also von der Form nxn.

Man unterscheidet zwischen:

1. Stochastischen Matrizen:

Die Einträge einer solchen Matrix liegen stets zwischen 0 und 1, und die Zeilen-, oder Spaltensumme muss immer gleich Eins sein.

1. Allgemeinen Prozessmatrizen:

Auch hier liegen die Einträge in der Regel (aber nicht immer) zwischen 0 und 1, jedoch ist es nicht vorgegeben, dass Zeilen- oder Spaltensumme gleich Eins sein müssen.

Ein mögliches Beispiel für eine Matrix wie in 1. beschrieben wäre:

P=(0,050,30,650,10,50,40,150,750,1)

Man kann schnell ausrechnen, dass alle Zeilenvektoren der Matrix in der Summe 1 ergeben, womit es sich tatsächlich um eine stochastische Matrix handelt.

Unter „Übergangsprozesse II“ wird diese Matrix in einem Anwendungsbeispiel etwas genauer betrachtet.

Übergangsprozesse II

Im vorangegangenen Wiki wurde bereits die Matrix P vorgestellt:

P=(0,050,30,650,10,50,40,150,750,1)

Betrachtet man Übergangsprozesse, so hat man nur selten eine Matrix gegeben. Meist muss man diese erst aufstellen. Dies tut man mit Informationen aus dem Text der Aufgabe, oder aus einem Adjazenzgraphen(siehe Grafik in Beispielaufgabe).

Beispielaufgabe:

Wie könnte ein zu dieser Matrix gehöriger Adjazenzgraph aussehen?

Bemerkung: Wir sehen also, dass die Matrix den Wechsel zwischen 3 Zuständen beschreibt, was nur plausibel ist, da es sich um eine 3x3 Matrix handelt. Im nächsten Wiki werden wir den Adjazenzgraphen in einem Sachzusammenhang betrachten.

Übergangsprozesse III

Im vorangegangenen Wiki wurde bereits die Matrix P vorgestellt:

P=(0,050,30,650,10,50,40,150,750,1)

sowie der zugehörige Adjazenzgraph sind bekannt. Nun soll erklärt werden, wie die Matrix aus dem Graphen hervorgeht und zu was für einem Sachzusammenhang dieser gehören könnte.

Wichtig ist es hierbei zu überlegen, wo die Werte des Adjazenzgraphen sich in der Matrix wiederfinden. Man sieht schnell, dass in der ersten Spalte(S₁) und der ersten Zeile(Z₁), mit dem Eintrag 0,05, offenbar der Wechsel von A nach A beschrieben wird. In S₂, Z₁mit dem Eintrag 0,3 offenbar der von A nach B. In S₃, Z₁mit dem Eintrag 0,65 wird der Wechsel von A nach C beschrieben. Die übrigen Zeilen funktionieren genauso. Insgesamt veranschaulicht folgende Tabelle das Schema des Adjazenzgraphen sehr gut:

Beispielaufgabe:

Was sind mögliche Sachzusammenhänge?

Im nächsten Wiki wird das Katzenbeispiel ausgearbeitet dargestellt.

Übergangsprozesse IV –
Sachbeispiel Katze Teil 1

Hier wollen wir das Sachbeispiel der Katze noch einmal aufgreifen.

Lisa hat eine Katze. Diese wechselt zwischen 3 Orten: dem Katzenklo, der Hängematte und der Futterecke. Zwischen diesen Positionen wechselt sie stündlich.

a) Ist die Katze auf dem Klo, so bleibt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 (5%) dort, mit einer von 0,3 (30%) geht sie zur Hängematte, mit 0,65 (65%) zur Futterecke.

b) Ist sie in der Hängematte, so bleibt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 dort, mit einer von 0,4 geht sie zur Futterecke und mit einer von 0,1 geht sie zum Klo.

c) Ist sie schließlich in der Futterecke, so bleibt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 dort, mit einer von 0,15 geht sie zum Klo und mit einer von 0,75 zur Hängematte.

Möchte man all dies nun veranschaulichen, so leitet man sich den bereits bekannten Adjazenzgraphen her.

Aus diesem wiederum kann man, indem man eine zeilenweise „Verschiebung“ von→nachbetrachtet, leicht die bekannte Tabelle aufstellen.

Die sich daraus ergebende Matrix beschreibt das Positionswechsel-Verhalten der Katze von Stunde zu Stunde.

Eine mögliche Rechnung findet sich im nächsten Wiki.

Übergangsprozesse IV –
Sachbeispiel Katze Teil 2a

Ausgehend vom Sachverhalt des vorherigen Wikis: Die Katze befindet sich momentan in ihrer Hängematte. Wo befindet sie sich vermutlich in 3 Stunden?

ACHTUNG:

Es ist auch möglich Tabelle und Matrix spaltenweise aufzubauen. Dies wird im Wiki „Übergangsprozesse IV – Sachbeispiel Katze Teil 2b“ erklärt.

Übergangsprozesse VI –
Sachbeispiel Katze Teil 2b

Kommen wir nun zur spaltenweisen Vorgehensweise, die bereits im vorherigen Wiki angekündigt wurde.

Zur Erinnerung: Es ist auch möglich, Tabelle und Matrix spaltenweise aufzubauen. Die transponierte Matrix PT sieht dann so aus:

PT=(0,050,30,650,3040,750,650,40,1)

In diesem Fall wird der Positionsvektor ebenfalls transponiert:xT=(010)

Bei diesem Vorgehen muss der Vektor vonrechts_ an die Matrix multipliziert werden, nicht wie üblich von links.

Die Formel lautet nun: PT⋅xT=(x1x2x3)

Wir erhalten also den gleichen Lösungsvektor wie bei der anderen Methode, allerdings ist auch dieser einmal gedreht bzw. transponiert.