R² – online lernen

Gerade

Spezialfall R2${\mathbb{R}}^2$

Im R2${\mathbb{R}}^2$ können wir Geraden auf zwei Arten darstellen:

1. In der Haupt- oder Normalform y=mx+c$y=mx+c$ mit Steigung m$m$ und y$y$-Achsenabschnitt c$c$
2. In der Parameterform x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}$ mit Stützvektor p⃗ $\overrightarrow{p}$ und Richtungsvektor u⃗ $\overrightarrow{u}$

Skizze:

Ist die Parameterform gegeben und man will die Normalform bestimmen, geht man so vor:

• Aus den Einträgen des Richtungsvektors u⃗ =(uxuy)$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right)$ bestimmt man die Steigung
  m=uyux$$m=\frac{u_y}{u_x}$$
  und setzt diese in die Geradengleichung y=mx+c$y=mx+c$ ein.
• Den aus dem Stützvektor ablesbaren Punkt
  (px∣py)$$(p_x\mid p_y)$$
  setzt man ebenfalls in diese Gleichung ein, damit lässt sich dann c$c$ bestimmen.
  

Beispielaufgabe:

Wie lautet die Gleichung der Geraden g:x⃗ =(11)+s⋅(21)$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ in der Form y=mx+c$y=mx+c$?

Lösung:

m=uyux=12⇒y=12x+c$m=\frac{u_y}{u_x}=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+c$

P(1∣1)$P\left(1\mid 1\right)$ einsetzen und nach c$c$ auflösen:

1=12⋅1+c⇒c=1−12=12⇒g:y=12x+12$1=\frac{1}{2}\cdot 1+c\Rightarrow c=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow g:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$