Ebenengleichung Parameterform – online lernen

Parameterform von Geraden

Eine Gerade g$g$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

g:x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ ;r∈R$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u};r\in \mathbb{R}$

Diese Darstellung heißt Parameterform:

• p⃗ $\overrightarrow{p}$ ist der Stützvektor und zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt (Aufpunkt, Aufsatzpunkt, Startpunkt) der Geraden.
• u⃗ $\overrightarrow{u}$ ist der Richtungsvektor und beschreibt somit den Verlauf der Geraden (vom Aufpunkt an).

Sind zwei Punkte A$A$ und B$B$ der Geraden gegeben, so kann damit die Parameterform bestimmt werden:

x⃗ =OA−→−+r⋅AB−→−$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}$

Skizze:

Beispielaufgabe:

Bestimme zwei verschiedene Parametergleichungen der Geraden durch A(1∣2∣3)$A\left(1\mid 2\mid 3\right)$ und B(2∣0∣1)$B\left(2\mid 0\mid 1\right)$.

Lösung:

Möglich sind beispielsweise

g:x⃗ =OA−→−+r⋅AB−→−=⎛⎝⎜123⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜1−2−2⎞⎠⎟;r∈R$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right);r\in \mathbb{R}$
oder
g:x⃗ =OB−→−+s⋅BA−→−=⎛⎝⎜201⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−122⎞⎠⎟;s∈R$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+s\cdot \overrightarrow{BA}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right);s\in \mathbb{R}$