Punktprobe – online lernen

Geraden

Punktprobe

Um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt A$A$ auf einer Geraden g$g$ liegt, führt man eine Punktprobe durch. Dazu setzt man den Ortsvektor OA−→−$\overrightarrow{OA}$ des gegebenen Punktes für x⃗ $\overrightarrow{x}$ in die Parametergleichung g:x⃗ =p⃗ +s⋅u⃗ ;s∈R$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+s\cdot \overrightarrow{u};s\in \mathbb{R}$ der Geraden ein. Anschließend löst man zeilenweise nach dem Parameter s$s$ auf.

Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Sind alle drei Zeilen ohne Widerspruch für den gleichen Wert für s$s$ lösbar, so liegt der Punkt auf der Geraden, es gilt also A∈g$A\in g$.
2. Entsteht in mindestens einer der Zeilen ein Widerspruch (z.B. die Gleichung 0=1$0=1$) oder erhält man durch das Auflösen verschiedene Werte für den Parameter s$s$, so liegt der Punkt nicht auf der Geraden, es gilt also A∉g$A\notin g$.

Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Gerade g:x⃗ =⎛⎝⎜224⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜10−1⎞⎠⎟$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$.

Prüfe, ob die Punkte Q(5∣3∣1)$Q\left(5\mid 3\mid 1\right)$, R(0∣2∣6)$R\left(0\mid 2\mid 6\right)$ und S(3∣2∣5)$S\left(3\mid 2\mid 5\right)$ auf dieser Geraden liegen.

Lösung:

Punktprobe mit Q$Q$:

⎛⎝⎜531⎞⎠⎟=⎛⎝⎜224⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜10−1⎞⎠⎟⟺⎛⎝⎜31−3⎞⎠⎟=s⋅⎛⎝⎜10−1⎞⎠⎟⇒⎧⎩⎨−3=sphantom−1=0s−3=−s⇒⎧⎩⎨s=31=0↯s=3$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)⟺\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)=s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}\phantom{-}3=s \\ phantom-1=0s \\ -3=-s\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}s=3 \\ 1=0↯ \\ s=3\end{array} \end{gathered}$$

In der mittleren Zeile ergibt sich ein Widerspruch (1=0)$(1=0)$
⇒Q$\Rightarrow Q$ liegt nicht auf g;Q∉g$g;Q\notin g$.

Punktprobe mit R$R$:

⎛⎝⎜026⎞⎠⎟=⎛⎝⎜224⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜10−1⎞⎠⎟⟺⎛⎝⎜−202⎞⎠⎟=s⋅⎛⎝⎜10−1⎞⎠⎟⇒{−2=s−0=0s−2=−s⇒{s=−20=0s=−2$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)⟺\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 2\end{array}\right)=s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2=s \\ \phantom{-}0=0s \\ \phantom{-}2=-s\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}s=-2 \\ 0=0 \\ s=-2\end{array} \end{gathered}$$

Die wahre Aussage in der mittleren Zeile gilt für beliebige s$s$, also auch für s=−2$s=-2$.
Somit sind alle drei Zeilen für s=−2$s=-2$ lösbar.
⇒R$\Rightarrow R$ liegt auf g;R∈g$g;R\in g$.

Punktprobe mit S$S$:

⎛⎝⎜325⎞⎠⎟=⎛⎝⎜224⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜10−1⎞⎠⎟⟺⎛⎝⎜101⎞⎠⎟=s⋅⎛⎝⎜10−1⎞⎠⎟⇒{1=s0=0s1=−s⇒{s=10=0s=−1$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)⟺\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}1=s \\ 0=0s \\ 1=-s\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}s=1 \\ 0=0 \\ s=-1\end{array} \end{gathered}$$

Man erhält keinen eindeutigen Wert für s$s$.
⇒S$\Rightarrow S$ liegt nicht auf g;S∉g$g;S\notin g$.