Punktprobe – online lernen

Geraden

Punktprobe

Um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt A auf einer Geraden g liegt, führt man eine Punktprobe durch. Dazu setzt man den Ortsvektor →OA des gegebenen Punktes für →x in die Parametergleichung g:→x=→p+s⋅→u;s∈R der Geraden ein. Anschließend löst man zeilenweise nach dem Parameter s auf.

Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Sind alle drei Zeilen ohne Widerspruch für den gleichen Wert für s lösbar, so liegt der Punkt auf der Geraden, es gilt also A∈g.
2. Entsteht in mindestens einer der Zeilen ein Widerspruch (z.B. die Gleichung 0=1) oder erhält man durch das Auflösen verschiedene Werte für den Parameter s, so liegt der Punkt nicht auf der Geraden, es gilt also A∉g.

Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Gerade g:→x=(224)+s⋅(10−1).

Prüfe, ob die Punkte Q(5∣3∣1), R(0∣2∣6) und S(3∣2∣5) auf dieser Geraden liegen.

Lösung:

Punktprobe mit Q:

(531)=(224)+s⋅(10−1)⟺(31−3)=s⋅(10−1)⇒{−3=sphantom−1=0s−3=−s⇒{s=31=0↯s=3

In der mittleren Zeile ergibt sich ein Widerspruch (1=0)
⇒Q liegt nicht auf g;Q∉g.

Punktprobe mit R:

(026)=(224)+s⋅(10−1)⟺(−202)=s⋅(10−1)⇒{−2=s−0=0s−2=−s⇒{s=−20=0s=−2

Die wahre Aussage in der mittleren Zeile gilt für beliebige s, also auch für s=−2.
Somit sind alle drei Zeilen für s=−2 lösbar.
⇒R liegt auf g;R∈g.

Punktprobe mit S:

(325)=(224)+s⋅(10−1)⟺(101)=s⋅(10−1)⇒{1=s0=0s1=−s⇒{s=10=0s=−1

Man erhält keinen eindeutigen Wert für s.
⇒S liegt nicht auf g;S∉g.