Mathematik – Binomische Formeln

Die binomischen Formeln werden in Mathe häufig verwendet. Sie sind praktisch, weil du damit leichter Klammern ausmultiplizieren kannst – und sie helfen dir beim Rechnen ohne komplizierte Multiplikationen. Wir zeigen dir hier viele Beispiele, damit du sicher in der Anwendung wirst.

Es gibt drei binomische Formeln. So lauten sie:

1. binomische Formel:

(a+b)2=a2+2ab+b2

2. binomische Formel:

(a−b)2=a2−2ab+b2

3. binomische Formel:

(a+b)⋅(a−b)=a2−b2

Wie der Name schon sagt, sind die binomischen Formeln nützlich, wenn du mit Binomen rechnest. 

Aber was ist ein Binom? 

Darin steckt die lateinische Vorsilbe „bi-“, die „zwei“ bedeutet. Ein Binom besteht deshalb aus zwei Termen, die miteinander addiert oder voneinander subtrahiert werden. Dabei kann ein Term einfach nur aus einer Zahl bestehen (3), aus einer Variablen (x) oder aus dem Produkt einer Zahl und einer Variablen (3x). 

Hast du jetzt zwei solcher Terme in einer Summe oder Differenz, hast du ein Binom. Zum Beispiel:

(3+4)

(3x+4)

(2−3x)

Die binomischen Formeln wenden wir an, wenn das Binom eine Potenz hat, also zum Beispiel (3+x)2. 

Fast immer ist das die zweite Potenz (die Zahl 2 als Exponent). Weiter unten zeigen wir dir aber auch, wie du die binomischen Formeln mit höheren Potenzen anwenden kannst.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

(3x+2)2

Um diese Klammer aufzulösen, können wir jetzt einfach die Potenz ausschreiben und dann ausmultiplizieren. Das geht so:

(3x+2)2=(3x+2)⋅(3x+2)=3x⋅3x+3x⋅2+3x⋅2+2⋅2

Das können wir natürlich noch vereinfachen:

=9x2+12x+4

Diese Rechnung ist absolut richtig. Du kannst es dir aber auch einfacher machen und die 1. binomische Formel anwenden:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Dazu musst du herausfinden, was in deiner Aufgabe a und b sind. 

(3x+2)2🡪a=3x,b=2

Jetzt kannst du in die binomische Formel einsetzen:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(3x+2)2=(3x)2+2⋅(3x⋅2)+22

Wir rechnen aus:

=9x2+12x+4

Wie du siehst, ist das das gleiche Ergebnis. Schauen wir uns jetzt zu allen binomischen Formeln Beispiele an.

Die erste binomische Formel erkennst du daran, dass es nur eine Klammer (ein Binom) gibt und in dieser ein Pluszeichen steht – also eine Summe. Zum Beispiel so:

(3+5)2=?

Tatsächlich ist es in diesem Fall viel leichter, einfach die Klammer auszurechnen und dann die Potenz zu bilden:

(3+5)2=82=64

Schauen wir uns trotzdem zum Üben einmal an, was mit der ersten binomischen Formel passiert:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(3+5)2=32+2⋅3⋅5+52=9+2⋅15+25=9+30+25=64

Du kommst also wie erwartet zum selben Ergebnis. Meist brauchst du die binomischen Formeln aber eher für Übungen mit Variablen. 

Beispiel:

(5+2x)2=?

Zuerst musst du immer herausfinden, welcher Term dem a in der binomischen Formel entspricht und welcher dem b:

(a+b)2

(5+2x)2

Und jetzt kannst du schon die erste binomische Formel anwenden:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(5+2x)2=52+2⋅5⋅2x+(2x)2=25+20x+4x2

Und so funktioniert die Anwendung der binomischen Formeln!

Die zweite binomische Formel wendest du an, wenn du nur eine Klammer (ein Binom) hast und darin ein Minuszeichen steht – also eine Differenz. 

Beispiel:

(6x−4)2=?

Du nutzt die zweite binomische Formel und findest zuerst wieder a und b.

(a−b)2=a2−2ab+b2

(6x−4)2=?

Jetzt kannst du schon einsetzen:

(a−b)2=a2−2ab+b2

(6x−4)2=(6x)2−2⋅6⋅4+42=36x2−48x+16

Die dritte binomische Formel kannst du anwenden, wenn du zwei Binome miteinander malnehmen sollst – also zwei Klammern hast. Sie unterscheiden sich nur darin, dass in einer Klammer eine Summe steht und in der anderen eine Differenz.

Beispiel:

(3x+2)⋅(3x−2)=?

Auch hier findest du zuerst wieder a und b:

(a+b)⋅(a−b)=a2−b2

(3x+2)⋅(3x−2)=?

Und jetzt einfach die dritte binomische Formel anwenden:

(a+b)⋅(a−b)=a2−b2

(3x+2)⋅(3x−2)=(3x)2−22=9x2−4

Übungen zu den binomischen Formeln enthalten oft Variablen. Denn wenn sich nur Zahlen in den Klammern befinden, ist es oft leichter, einfach die Klammer auszurechnen, als eine binomische Formel anzuwenden.

Es gibt aber auch Fälle, in denen die binomischen Formeln sehr nützlich für das Rechnen mit Zahlen sind. Dazu hier ein paar Beispiele.

Beispiel 1

Berechne 302². Wende dazu die binomischen Formeln an.

302² kannst du wahrscheinlich nicht im Kopf rechnen. Du kannst daraus aber ein Binom machen:

3022=(300+2)2

Und jetzt erkennst du vielleicht schon: Das sieht so aus, als könnte man die erste binomische Formel anwenden. Wie das geht, weißt du ja schon:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Und das lässt sich auf einmal sehr viel leichter ohne Taschenrechner rechnen:

(300+2)2=3002+2⋅300⋅22=90.000+1.200+4=91.204

Cool, oder?

Beispiel 2

Berechne 999² mithilfe der binomischen Formeln.

Auch diese Quadratzahl ist im Kopf sehr schwierig zu rechnen. Wir können aber wieder ein Binom schreiben, um Zahlen zu finden, mit denen wir viel einfacher rechnen können:

9992=(1.000−1)2

Und da wir nur eine Klammer und eine Differenz haben, passt hier die zweite binomische Formel:

(a−b)2=a2−2ab+b2

(1.000−1)2=1.0002−2⋅1.000⋅1+12=1.000.000−2.000+1=998.001

Viel einfacher!

Beispiel 3

Berechne 103⋅97 und nutze dafür die binomischen Formeln. 

Du siehst vielleicht, dass diese beiden Zahlen gleich weit von 100 entfernt sind – und mit 100 lässt es sich viel leichter rechnen. Wir können daher schreiben:

103⋅97=(100+3)⋅(100−3)

Und hier passt natürlich die dritte binomische Formel:

(a+b)⋅(a−b)=a2−b2

(100+3)⋅(100−3)=1002−32=10.000−9=9.991

Du kannst die binomischen Formeln auch rückwärts anwenden. Das ist manchmal nützlich, wenn du aus Brüchen kürzen möchtest. Denn, wie du weißt: Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen! Durch Ausklammern mit den binomischen Formeln kannst du dir aber ein Produkt schaffen, zum Beispiel so:

x2−4x2−4x+4=?

Sieht erstmal schwierig aus, oder? Aber schau dir noch einmal die binomischen Formeln an – insbesondere die Seite rechts vom Gleichheitszeichen – und versuche herauszufinden, ob du eine oder mehrere davon anwenden könntest:

1. binomische Formel:

(a+b)2=a2+2ab+b2

2. binomische Formel:

(a−b)2=a2−2ab+b2

3. binomische Formel

(a+b)⋅(a−b)=a2−b2

Im Zähler passt hier die 3. binomische Formel. Wir können daher so umwandeln:

(x2−4)=(x+2)⋅(x−2)

Und im Nenner können wir die zweite binomische Formel nutzen:

x2−4x+4=(x−2)2

Und plötzlich sieht unser Bruch so aus:

(x+2)⋅(x−2)(x−2)2

Jetzt können wir einmal (x−2) kürzen und übrig bleibt nur noch:

(x+2)(x−2)

Das sieht schon viel einfacher aus, oder?

Meist findest du für die binomischen Formeln Beispiele und Übungen nur mit der Potenz 2. Du kannst sie aber auch für höhere Potenzen anwenden. 

Zum Beispiel gilt:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3

Wenn du mehr darüber wissen möchtest, lies über das Pascalsche Dreieck. 

• Die binomischen Formeln helfen dir, Binome mit Potenzen leichter auszumultiplizieren. Es gibt drei binomische Formeln.
  
• Ein Binom ist eine Summe oder eine Differenz aus zwei Termen. Meist wird das Binom mit 2 potenziert, aber es gibt auch binomische Formeln für höhere Potenzen.
  
• Du kannst die Klammern auch einfach ausmultiplizieren, statt die binomischen Formeln anzuwenden.
  
• Manchmal ist es sinnvoll, die binomischen Formeln rückwärts anzuwenden. Sie helfen dir beim Ausklammern. So kannst du zum Beispiel Brüche besser kürzen.

Welche binomischen Formeln gibt es?

1. binomische Formel

(a+b)2=a2+2ab+b2

2. binomische Formel

(a−b)2=a2−2ab−b2

3. binomische Formel

(a+b)⋅(a−b)=a2−b2

Wann benutze ich die drei binomischen Formeln?

Du wendest die binomischen Formeln an, um Binome mit Potenzen leichter auszurechnen. So sieht ein Binom aus: (x+3). Und das hier ist ein Binom mit der Potenz 2: (x−5)².

Was ist ein Binom einfach erklärt?

Ein Binom ist entweder eine Summe oder eine Differenz aus zwei Termen. Dabei kann ein Term eine Zahl sein (4), eine Variable (x) oder auch eine Zahl multipliziert mit einer Variablen (4x). 

Woher weiß ich, welche binomische Formel ich anwenden muss?

Wenn du nur ein Binom (nur eine Klammer) hast, dann kannst du nur die erste oder die zweite binomische Formel anwenden. 

Bei einer Summe in der Klammer (x+3) ist es die erste, bei einer Differenz (x−3) die zweite binomische Formel. 

Wenn du zwei Binome miteinander malnimmst und eins davon eine Summe und eins eine Differenz ist (die Terme in den Binomen aber gleich sind), dann passt die dritte binomische Formel: (x+3)⋅(x−3).