Additionsverfahren Übungen – online lernen

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren wird durch Addition der beiden Gleichungen eine neue Gleichung erzeugt. Die Addition muss so geschehen, dass eine der beiden Variablen dabei verschwindet. Dazu sollte man die beiden Gleichungen übereinanderschreiben, und zwar so, dass jeweils gleichartige Terme (die mit x, die mit yund die ohne Variable) übereinanderstehen:

Dann muss man in der Regel die beiden Gleichungen so multiplizieren, dass entweder die x-Terme oder die y-Terme den gleichen Faktor mit verschiedenem Vorzeichen haben:

3x−4y=−6 |⋅3

2x+3y=13 |⋅4

I + II:

9x−12y=−18 

8x+12y=52

17x=34 |:17

x=2

Nun muss man das Ergebnis in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um die zweite Variable zu berechnen:

3⋅2−4y=−6

6−4y=−6 |−6

−4y=−12 |:(−4)

y=3 

Die Lösungsmenge beträgt dann im Beispiel L = {(2 | 3)}.

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen (wenn nötig) zuerst so umgeformt, dass eine Seite der Gleichung bei beiden Gleichungen gleich aussieht und eine der Variablen enthält. Dann werden die jeweils anderen Seiten einander gleichgesetzt. 

Beispiel:

Die linken Seiten sind jetzt gleich und enthalten die x-Variable. Nun kann man die rechten Seiten einander gleichsetzen. Damit erhält man eine Gleichung, aus der man y berechnen kann:

Jetzt setzt man das Ergebnis für yin eine der ursprünglichen Gleichungen ein und erhält x:

Die Lösungsmenge beträgt dann im Beispiel ‹L = {(2 | 3)}.

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen auf eine der Variablen umgestellt. Der erhaltene Ausdruck wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Damit erhält man eine Gleichung, die nur noch eine Variable enthält, die man dann berechnen kann.

Der eingekreiste Teil kann jetzt für das xin die andere Gleichung eingesetzt werden:

Jetzt setzt man das Ergebnis für y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und erhält x:

Die Lösungsmenge beträgt dann im Beispiel ‹L = {(2 | 3)}.

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen sind die Gleichungen, die oft auch „ganz normale Gleichungen“ genannt werden. Bei ihnen kommt die Variable (meistens x) nur als „einfache“ Variable vor, also nicht als Potenz (z.B. x2,x3 etc.)

Man löst sie in der Regel nach dem folgenden Schema:

1. Wenn Klammern vorhanden sind, löst man zuerst die Klammern auf.
2. Wenn man Terme zusammenfassen kann, dann fasst man diese zusammen.
3. Durch Addition/Subtraktion der gleichen Terme auf beiden Seiten der Gleichung sortiert man Terme mit x auf die eine Seite vom Gleichheitszeichen, Terme ohne x auf die andere Seite.
4. Eventuell noch beide Seiten der Gleichung durch den Faktor vor dem x teilen.

Am besten sieht man das an einem Beispiel:

2(5x−3)=−3(8−6x)−6∣Klammern auflösen10x−6=−24+18x−6∣Zusammenfassen10x−6=−30+18x∣−18x−8x−6=−30∣+6−8x=−24∣:(−8)x=3

Die Lösungsmenge der Gleichung beträgt L={3}.