Quader Aufgaben – online lernen

Volumen eines Quaders

Ein Quader ist ein Spezialfall eines geraden Prismas, bei dem die Grundfläche ein Rechteck ist. Das Volumen Veines Quaders berechnet sich daher auch durch „Grundfläche mal Höhe“. Weil hier die Grundfläche ein Rechteck ist, gilt insbesondere „Länge mal Breite mal Höhe“ oder als Formel:

• V = a · b · c
  

a, b und c sind die entsprechenden Kantenlängen des Quaders. 

Skizze:

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Beispielaufgabe: Ein Quader hat die Seiten a = 6 cm, b = 7 cm und c = 9 cm. Berechne das Volumen.

Lösung: V= 6 cm · 7 cm · 9 cm = 378 cm^³

Oberfläche eines Quaders

Die Oberfläche O$O$ eines Quaders besteht aus sechs Rechtecken, von denen jeweils die zwei gegenüberliegenden gleich groß sind. Die Formel der Oberfläche eines Quaders lautet dann:

• O=2⋅a⋅b+2⋅a⋅c+2⋅b⋅c$O=2·a·b+2·a·c+2·b·c$

Dabei sind a$a$, b$b$ und c$c$ die Kantenlängen des Quaders. Siehe auch die Skizze. Klammert man die 2$2$ aus, erhält man eine zweite Variante, die oft in Büchern zu lesen ist:

• O=2⋅(a⋅b+a⋅c+b⋅c)$O=2·(a·b+a·c+b·c)$

Skizze:

Beispiel: Ein Quader hat die Seiten a=5cm$a=5cm$, b=6cm$b=6cm$ und c=7cm$c=7cm$. Berechne seinen Oberflächeninhalt.

O=2⋅(5⋅6+5⋅7+6⋅7)=214$O=2·(5·6+5·7+6·7)=214$cm²

Mantelfläche eines Quaders

Ein Quader ist ein Spezialfall eines Prismas. Der Mantel M eines Quaders besteht aus vier Rechtecken, den Seitenwänden, von denen die zwei gegenüberliegenden Seiten immer gleich groß sind. Damit folgt für die Formel des Mantels des Quaders:

• M=2⋅a⋅c+2⋅b⋅c$M=2·a·c+2·b·c$

Oder nach Ausklammern:

• M=2⋅(a⋅c+b⋅c)$M=2·(a·c+b·c)$
  

a$a$, b$b$ und c$c$ sind die entsprechenden Kantenlängen des Quaders, siehe Skizze.

Skizze:

Beispiel: Ein Quader hat die Seiten a=3cm$a=3cm$, b=5cm$b=5cm$ und c=7cm$c=7cm$. Berechne seine Mantelfläche.

M=2⋅(3cm⋅7cm+5cm⋅7cm)=112$M=2·(3cm·7cm+5cm·7cm)=112$cm²

Volumen eines Würfels

Ein Würfel ist ein Quader, dessen Kanten alle gleich lang sind. Die Formel des Quaders – „Volumen gleich Länge mal Breite mal Höhe“ – gilt auch hier, nur, dass Länge, Breite und Höhe alle gleich groß sind:

• V=a⋅a⋅a$V=a·a·a$

aist hier die Kantenlänge des Würfels. Die Kurzform dieser Formel lautet:

• V=a3$V=a^3$

Der Würfel ist einer der sogenannten pythagoreischen Körper.

Skizze:

Beispiel: Ein Würfel hat die Kantenlänge a=7cm$a=7cm$. Berechne seinen Rauminhalt.

V=7cm3=343$V={7cm}^3=343$cm³

Oberfläche eines Würfels

Bei einem Würfel besteht der Oberflächeninhalt O$O$ aus sechs gleich großen Quadraten. Damit ergibt sich eine besonders einfache Formel:

• O=6⋅a2$O=6\cdot a^2$ 

a$a$ ist hier die Kantenlänge des Würfels.

Skizze:

Beispiel: Ein Würfel hat die Kantenlänge a=8cm$a=8cm$. Berechne seinen Oberflächeninhalt.

O=6⋅82=384$O=6\cdot 8^2=384$cm²

Mantelfläche eines Würfels

Ein Würfel ist ein Spezialfall eines Prismas. Er ist auch ein Spezialfall eines Quaders. Seine Mantelfläche (die Seitenwände) besteht aus vier gleich großen Quadraten, die den Würfel umschließen (Grund- und Deckfläche werden nicht einbezogen). Damit ergibt sich für die Formel:

M=4⋅a2$M=4\cdot a^2$

Skizze:

Beispiel: Ein Würfel hat die Kantenlänge a=5cm$a=5cm$. Berechne seinen Mantel.

M=4⋅52=100$M=4\cdot 5^2=100$cm²