Flächeninhalt Dreieck

Wie du sicher aus den Grundlagen zum Dreieck weißt, handelt es sich bei einem Dreieck um eine zweidimensionale geometrische Figur – ähnlich einem Quadrat oder einem Rechteck. Da es drei Eckpunkte hat (A, B und C), ergeben sich daraus auch drei Seiten (a, b und c).

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, brauchen wir jedoch nicht die Längen aller drei Seiten zu kennen. Wir benötigen lediglich die Länge der Grundseite g und die Höhe h. Die Höhe verläuft senkrecht zur Grundseite und schneidet den Eckpunkt des Dreiecks, welcher der Grundseite gegenüberliegt.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird in der Regel mit dem Großbuchstaben A bezeichnet. Die allgemeine Formel lautet:

Sie gilt für alle Dreiecke. Hier noch einmal alle Abkürzungen auf einen Blick:

A = Flächeninhalt

g = Grundseite

h = Höhe

Den Flächeninhalt von Dreiecken zu berechnen, ist ganz einfach und braucht nur drei Schritte:

1. Stelle die Formel auf.

2. Setze die richtigen Werte ein.

3. Rechne das Ergebnis aus.

Lass uns das an ein paar Beispielen üben.

Denke zuletzt an den Lösungssatz: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 17,5cm2$17,5c{m}^2$.

Beispiel 2

Wie du anhand dieser Zeichnung siehst, muss die Grundseite, die du für die Berechnung des Flächeninhalts nutzt, nicht die längste Seite des Dreiecks sein. Es muss sich nicht einmal um die untenliegende Seite handeln. Voraussetzung ist nur, dass du zum Berechnen die Höhe wählst, die im rechten Winkel zu deiner gewählten Grundseite steht und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.

Lösungssatz: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 16cm2$16c{m}^2$.

Besonders Acht geben musst du, wenn die Längen der Grundseite g und der Höhe h in unterschiedlichen Einheiten angegeben sind. Zum Beispiel:

g = 0,12 m

h = 7 cm

Mit der oben genannten Formel kannst du den Flächeninhalt nur korrekt berechnen, wenn beide Angaben in derselben Einheit vorliegen. Wir müssen daher zuerst umrechnen:

g = 0,12 m = 12 cm

Nun kannst du die Werte wie gerade geübt in die Formel einsetzen.

Auch in einem Dreieck mit rechtem Winkel kannst du den Flächeninhalt auf die oben gezeigte Weise berechnen. Du hast jedoch noch eine zweite, einfachere Möglichkeit, nämlich mit folgender Formel:

Du kannst nun den Flächeninhalt dieses Dreiecks berechnen, ohne die Höhe c zu kennen:

A=12⋅a⋅b$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$

A=12⋅4cm⋅6cm$A=\frac{1}{2}\cdot 4cm\cdot 6cm$

A=12⋅24cm²$A=\frac{1}{2}\cdot 24cm²$

A = 12cm2$12c{m}^2$

Der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks beträgt 12cm2$12c{m}^2$.

Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Schenkel, also zwei Seiten, gleich lang. Es gilt also a = b. Unsere oben genannte allgemeine Formel funktioniert auch hier. Du hast aber auch die Möglichkeit, den Flächeninhalt des Dreiecks nur anhand der Seitenlängen zu berechnen. Das ist vor allem dann hilfreich, wenn dir die Höhe unbekannt ist. Nutze dafür folgende Formel:

Wir setzen in die Formel ein:

A=14⋅c⋅4⋅a2–c2−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot c\cdot \sqrt{4\cdot a^2–c^2}$

A=14⋅5cm⋅4⋅(6cm)2–(5cm)2−−−−−−−−−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot 5cm\cdot \sqrt{4\cdot (6cm{)}^2–(5cm{)}^2}$

A=14⋅5cm⋅4⋅36cm2–25cm2−−−−−−−−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot 5cm\cdot \sqrt{4\cdot 36c{m}^2–25c{m}^2}$

A=14⋅5cm⋅144cm2–25cm2−−−−−−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot 5cm\cdot \sqrt{144c{m}^2–25c{m}^2}$

A=1,25cm⋅(119cm2)−−−−−−−−√$A=1,25cm\cdot \sqrt{(119c{m}^2)}$

A≈13,64cm2$A\approx 13,64c{m}^2$

Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks beträgt etwa 13,64cm2$13,64c{m}^2$.

Im gleichseitigen Dreieck sind, wie der Name schon sagt, alle drei Seitenlängen gleich. Es gilt also a = b = c. Damit sind auch alle Höhen h exakt gleich lang. Auch für dieses Dreieck kannst du unsere zu Beginn gelernte Flächenformel anwenden, sofern du die Höhe kennst. Es genügt im gleichseitigen Dreieck aber auch, wenn du nur eine einzige Seitenlänge kennst. Dann kannst du nämlich folgende Formel anwenden:

Warum die Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken so lautet, lässt sich leicht nachvollziehen. Stell dir vor, ein Dreieck würde in einem Rechteck liegen, das es perfekt umschließt:

Die Höhe h des Dreiecks entspricht genau der Höhe h des Rechtecks. Die Länge der Grundseite g des Dreiecks entspricht auch der Seitenlänge der Grundseite des Rechtecks.

Außerdem kannst du sehen, dass die Höhe des Dreiecks das Rechteck in zwei kleinere Rechtecke zerteilt. Diese werden jeweils genau zur Hälfte von unserem Dreieck ausgefüllt. Das bedeutet: In den beiden kleineren Rechtecken ist der Flächeninhalt des Rechtecks jeweils genau doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks. Das gilt dann natürlich auch für das gesamte Rechteck: Seine Fläche ist doppelt so groß wie die Fläche des Dreiecks. Oder anders ausgedrückt:

ARechteck=ADreieck⋅12$A_{\text{Rechteck}}=A_{\text{Dreieck}}\cdot \frac{1}{2}$

Aus den Grundlagen zum Flächeninhalt aus der Geometrie kennst du bereits die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks:

A=a⋅b$A=a\cdot b$

Da die Seitenlänge a der Grundseite im Dreieck entspricht und die Seitenlänge b gleich mit der Höhe h im Dreieck ist, kannst du daher für den Flächeninhalt eines Dreiecks schreiben:

A=12⋅g⋅h$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

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