Vierecke Arbeitsblatt – online lernen

Allgemeines Viereck

Ein Viereck ist eine Fläche mit vier Seiten und vier Ecken. Solange es keine Besonderheiten wie gleich lange oder parallele Seiten, gleich große Winkel oder Symmetrie hat, heißt ein Viereck „allgemein“.

Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt immer α+β+γ+δ = 360°. Dabei ist in den meisten Fällen das Alpha αder Winkel im Punkt A, das Beta β der Winkel im Punkt B, das Gamma γ der Winkel im Punkt C und das Delta δ der Winkel im Punkt D.

Skizze:

Umfang und Flächeninhalt eines Quadrats

Da ein Quadrat vier gleich lange Seiten hat, muss man für den Umfang eines Quadrates lediglich seine Kantenlänge vervierfachen. Für den Umfang eines Quadrates gilt damit:

• U = 4 ⋅ a 

Der Flächeninhalt („Länge mal Breite“) ist ebenso einfach – man multipliziert die Seitenlängen mit einander:

• A = a ⋅ a 

Sehr oft schreibt man auch:

• A = a²

(Statt „a hoch 2“ sagt man zu auch „a Quadrat“, da es ja den Flächeninhalt eines Quadrates beschreibt.)

Skizze: 

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Beispielaufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge a = 8 cm. 

Lösung: U = 32 cm, A = 64 cm²

Umfang eines allgemeinen Vierecks

Der Umfang eines allgemeinen Vierecks kann über die Formel U = a + b + c + d ausgerechnet werden. Man addiert alle vier Seiten und erhält damit den Umfang. Den Flächeninhalt bei einem allgemeinen Viereck zu berechnen, ist etwas aufwendiger. Dazu muss man das Viereck erst einmal in Teilflächen zerlegen (zum Beispiel in zwei Dreiecke oder in ein Rechteck und zwei oder mehr Dreiecke). Dann bestimmt man deren Flächeninhalte und addiert die Flächeninhalte der Teilflächen, um den Flächeninhalt des allgemeinen Vierecks zu erhalten.

Skizze:

Die beiden blauen Linien zerlegen das Viereck in ein Trapez und zwei rechtwinklige Dreiecke.

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Beispielaufgabe:

Ein Viereck hat die Seitenlängen a = 5 cm, b = 6 cm, c = 4 cm und d = 7 cm. Berechne den Umfang.

Lösung: U = 22 cm 

Umfang eines Drachens

Der Umfang ist die Summe der Längen aller Seiten.

• U = a + b + c + d 

Da bei einem Drachen immer zwei Seiten gleich lang sind, gilt auch die vereinfachte Formel:

• U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b 

Der Flächeninhalt wird mit Hilfe der beiden Diagonalen und berechnet, da sie immer senkrecht aufeinander stehen. Die Formel hierfür lautet:

• A = 12 ⋅ e ⋅ f 

Skizze:

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Beispielaufgabe: Ein Drachen hat die Seiten a = 4cm und b = 7 cm, seine Diagonalen betragen e = 9 cm und f = 6 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.

Lösung: U = 22 cm, A = 27 cm²

Umfang einer Raute

Eine Raute hat wie ein Quadrat vier gleich lange Seiten. Daher kann ihr Umfang auf die gleiche Weise berechnet werden:

• U = 4 ⋅ a 

Eine Raute ist ein Spezialfall eines Drachens und eines Parallelogramms. Ihr Flächeninhalt wird daher je nach dem, was gegeben ist, mit der Flächeninhaltsformel des Drachens (und sind die Diagonalen) berechnet:

• A = 12 ⋅ e ⋅  f 

Oder der Flächeninhalt wird mit der Formel des Parallelogramms berechnet:

• A =  a ⋅  h_a

Skizze:

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Beispielaufgabe: Eine Raute hat die Seitenlänge a = 7,1 cm und die Diagonalen e = 9 cm und f = 11 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.

Lösung: U = 28,4 cm, A = 49,5 cm²

Umfang und Flächeninhalt eines Trapezes

Ein Trapez besteht aus vier normalerweise unterschiedlich langen Seiten, nur das gleichschenklige Trapez hat zwei Seiten, die gleich lang sind. Somit ergibt sich allgemein für den Umfang eines Trapezes die gleiche Formel, die bei allen Vierecken angewandt werden kann:

U=a+b+c+d

Der Flächeninhalt eines Trapezes wird mit der Summe der beiden zueinander parallelen Seiten a

A=12⋅(a+c)⋅h

Hat man die sogenannte Mittelparallele gegeben, die parallel zu den zwei parallelen Seiten in der Mitte von ihnen verläuft, dann kann man auch folgende Formel verwenden:

A=m⋅h

Skizze: 

Beispielaufgabe:

Ein Trapez hat die Seiten a=10,1cm;b=4,5cm;c=5cm;d=5cm

Lösung: 

U=10,1cm+4,5cm+5cm+5cm=24,6cm

A=12⋅(10,1cm+5cm)⋅4cm=30,2cm2