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Dreieck

Dreiecke konstruieren Arbeitsblätter Klasse 8 – online lernen

Du kennst bestimmt Schilder auf der Straße, die die Form eines Dreiecks haben. Hierbei ist wichtig, dass ein Dreieck drei Seiten und - wie der Name sagt - drei Ecken besitzt.

Wiki zum Thema: Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten und zwei gleich große Winkel. Diese zwei Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Wie beim allgemeinen Dreieck beträgt die Winkelsumme $α$ + $β$ + $γ$ = 180°. Die beiden gleich großen Winkel erhalten hier auch oft die gleiche Bezeichnung.

Skizze:

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Damit hat es automatisch auch drei gleich große Winkel. Da die Winkelsumme auch hier wie in jedem Dreieck 180° beträgt, haben die einzelnen Winkel im gleichseitigen Dreieck jeweils 60°.

Skizze:

Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das einen rechten Winkel (90°) besitzt. Da die Winkelsumme in einem rechtwinkligen Dreieck natürlich auch 180° beträgt, ergeben die beiden übrigen Winkel zusammen ebenfalls 90°.

Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck haben besondere Namen. Die Seite gegenüber vom rechten Winkel, die immerdie längste Seite im Dreieck ist, heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Skizze:

Die beiden Katheten wurden blau eingefärbt und die Hypotenuse rot.

Allgemeines Dreieck

Ein allgemeines Dreieck ist eine geometrische Figur, die drei Seiten und drei Ecken hat (daher der Name Dreieck), und damit drei Winkel einschließt.

Grundsätzlich gelten alle Eigenschaften eines allgemeinen Dreiecks auch für alle speziellen Varianten (gleichschenklige, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke). Als „allgemein“ bezeichnet man aber häufig nur die Dreiecke, die nicht zu einem dieser Spezialfälle gehören, also unterschiedlich lange Seiten und keine gleich großen oder rechten Winkel haben.

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt immer

α + β + γ = 180^{\circ}

Skizze:

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks wird genauso berechnet wie die Fläche eines allgemeinen Dreiecks auch:

„Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei“.

Da aber die beiden Katheten $a$ und $b$ im rechten Winkel zueinanderstehen, ist eine Kathete immer gleichzeitig die Höhe zur anderen Kathete. Also gilt in einem rechtwinkligen Dreieck auch

„Kathete mal Kathete geteilt durch zwei“.

Für ein Dreieck mit

γ = 90^{\circ}

gilt dann:

A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

Skizze:

Beispielaufgabe:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten

a = 7 c m

und

b = 12 c m

. Welchen Flächeninhalt hat es?

Lösung:

A = \frac{1}{2} \cdot 7 c m \cdot 12 c m = 42 c m^{2}

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks

Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks wird genauso berechnet wie die Fläche eines allgemeinen Dreiecks auch. Da hier aber alle Seiten gleich lang sind, sind auch alle Höhen gleich lang. Also gilt

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich für die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck eine allgemeine Formel herleiten:

h_{a} = \sqrt{a^{2} - (\frac{a}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{3}{4} a^{2}} = \frac{1}{2} a \sqrt{3}

Damit ergibt sich auch für den Flächeninhalt eine allgemeine Formel:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (\frac{1}{2} a \sqrt{3}) = \frac{1}{4} a^{2} \sqrt{3}

Skizze:

Beispielaufgabe:

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Kantenlänge

a = 6 c m

. Berechne seinen Flächeninhalt.

Lösung:

A = \frac{1}{4} \cdot (6 c m)^{2} \cdot \sqrt{3} \approx 15, 59 c m^{2}

Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks

Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks wird genauso berechnet wie die Fläche eines allgemeinen Dreiecks auch. Da hier zwei Seiten gleich lang sind, sind auch die beiden entsprechenden Höhen gleich lang. Wenn

a = b

gilt, dann ist auch

h_{a} = h_{b}

, und es gilt die Formel

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}

Skizze:

Beispielaufgabe:

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Seite

c = 7 c m

mit der Höhe

h_{c} = 8 c m

. Berechne seinen Flächeninhalt.

Lösung:

A = \frac{1}{2} \cdot 7 c m \cdot 8 c m = 28 c m^{2}

Umfang eines Dreiecks

Umfang bei allgemeinen Dreiecken

Die Berechnung des Umfangs bei Dreiecken ist bei allen Arten von Dreiecken gleich.
Der Umfang ist einfach die Summe der Längen aller Seiten:

$U = a + b + c$

Umfang bei gleichschenkligen Dreiecken

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang, z. B. $a = b$ .
Dann kann man den Umfang auch so berechnen:

$U = 2 \cdot a + c$

Umfang bei gleichseitigen Dreiecken

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang, also $a = b = c$ .
So lässt sich der Umfang schließlich auch berechnen durch:

$U = 3 \cdot a$

Beispielaufgabe:

Ein Dreieck besitzt die Seiten $a = 8 c m; b = 6 c m; c = 13 c m$ . Wie lang ist der Umfang?

Lösung:

$U = 8 c m + 6 c m + 13 c m = 27 c m$

Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks

Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks wird berechnet über die Länge einer Seite und die dazugehörige Höhe. Die Höhe ist jeweils der Abstand der gegenüberliegenden Ecke zur gewählten Seite.

Es gilt

A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b}

Skizze:

Beispielaufgabe:

Ein Dreieck besitzt die Seite $c = 6 c m$ mit der Höhe $h_{c} = 4 c m$ . Berechne seinen Flächeninhalt.

Lösung:

$A = \frac{1}{2} \cdot 6 c m \cdot 4 c m = 12 c m^{2}$

Arbeitsblätter

Dreieck

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 568

Geometrie in der Ebene

Dreieck

Schwierigkeitsgrad 1
Serie 1

Aufgabe 1

Gegeben sind folgende Dreiecke:

a) gleichseitiges Dreieck	b) gleichschenkliges Dreieck	c) rechtwinkliges Dreieck

Benenne mit Hilfe der Zeichnungen die Eigenschaften der jeweiligen Dreiecke.

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der folgenden Dreiecke:

a)	b)	c)

d)	e)	f)

Aufgabe 3

Gegeben sei immer ein gleichseitiges Dreieck mit der Grundseite

a

und der Höhe

h_{a}

Berechne jeweils die fehlenden Werte:

	$a$	$h_{a}$	$A$	$U$
a)	$3 cm$	$2, 6 cm$
b)	$5 cm$	$4, 3 cm$
c)		$13 cm$		$45 cm$
d)			$62, 4 {cm}^{2}$	$36 cm$
e)	$6, 81 cm$		$20, 1 {cm}^{2}$
f)		$7, 8 cm$		$27 cm$

Aufgabe 4

Gegeben sei immer ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse

c

und den Katheten

a

und

b

Berechne jeweils die fehlenden Werte:

	$a$	$b$	$c$	$A$	$U$
a)	$16 cm$	$3 cm$	$16, 3 cm$
b)	$19 mm$		$26, 9 mm$		$64, 9 mm$
c)	$24 cm$			$264 {cm}^{2}$	$78, 6 cm$
d)	$24 dm$			$96 {dm}^{2}$	$57, 3 dm$

Aufgabe 5

Gegeben seien beliebige Dreiecke, von denen die Seite

a

und die zu

a

gehörende Dreieckshöhe

h_{a}

bekannt sind.

Berechne damit jeweils den Flächeninhalt der Dreiecke:

	$a$	$h_{a}$	$A$
a)	$6 cm$	$7 cm$
b)	$5, 5 cm$	$4 cm$
c)	$1 cm$	$8 cm$
d)	$7, 5 cm$	$6 cm$
e)	$12 cm$	$14 cm$
f)	$9 cm$	$9 cm$
g)	$10 cm$	$15 cm$
h)	$22 cm$	$13 cm$

Dreieck

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 5508

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 569

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 5509

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 12300

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 5510

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 570

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