Quotientenregel

Möglicherweise hast du dich bereits mit der Produktregel beschäftigt. Dann weißt du, wie du die Ableitung von einer Funktion bilden kannst, die aus einem Produkt mehrerer Teilfunktionen besteht. Doch wie ist das, wenn es sich nicht um ein Produkt, sondern um einen Quotienten handelt – du also einen Bruch ableiten sollst?

Genau dann hilft dir die Quotientenregel, die Ableitung zu berechnen. Sie ist gar nicht schwierig. Wichtig ist vor allem, dass du zunächst gründlich prüfst, ob du die Quotientenregel überhaupt brauchst. Das ist dann der Fall, wenn du sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruchs deiner abzuleitenden Funktion eine Variable (meist ein x$x$) wiederfindest.
So könnte deine Funktion zum Beispiel aussehen:

f(x)=x4+5x3$f(x)=\frac{x^4+5}{x^3}$

Diese Funktion besteht aus zwei Teilfunktionen, die wir g(x)$g(x)$ und h(x)$h(x)$ nennen:

Im Zähler findest du die Funktion g(x)=x4+5$g(x)=x^4+5$.

Im Nenner findest du die Funktion h(x)=x3$h(x)=x^3$.

Damit sind die Voraussetzungen für die Quotientenregel gegeben. Lass uns nun einen Blick auf die Formel für die Quotientenregel werden!

So sieht die Formel für die Quotientenregel aus:

Wie du siehst, tauchen in der Formel sowohl die ursprünglichen Teilfunktionen g(x)$g(x)$ und h(x)$h(x)$ sowie deren Ableitungen auf.

Hier noch einmal unsere Beispielfunktion: f(x)=x4+5x3$f(x)=\frac{x^4+5}{x^3}$

Für die Arbeit mit der Quotientenregel gilt nun:

• f(x)$f(x)$ ist deine ursprüngliche Funktion und f′(x)$f^{\prime }(x)$ ist die Ableitung, die du bilden möchtest.
• g(x)$g(x)$  ist die Teilfunktion im Zähler deiner Funktion, in unserem Beispiel (x4+5$x^4+5$), und g′(x)$g^{\prime }(x)$ ist die Ableitung davon.
• h(x)$h(x)$ ist die Teilfunktion im Nenner deiner Funktion, in unserem Beispiel x3$x^3$, und h′(x)$h^{\prime }(x)$ ist die Ableitung davon.

Da g(x)$g(x)$ dem Zähler und h(x)$h(x)$ dem Nenner entspricht, können wir auch sagen:

„Die Ableitung f′(x)$f^{\prime }(x)$ ist gleich Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners geteilt durch Nenner zum Quadrat.“

Um die Ableitungen der beiden Teilfunktionen g(x)=x4+5$g(x)=x^4+5$ und h(x)=x3$h(x)=x^3$ zu bilden, musst du lediglich die dir bereits bekannten Faktor- und Potenzregeln anwenden.

Jetzt können wir folgendes Vorgehen nutzen, um mithilfe der Quotientenregel die Ableitung der Funktion zu berechnen:

1. Formel aufschreiben
2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen bilden
3. Quotientenregel anwenden
4. Gegebenenfalls vereinfachen

Schauen wir uns das gleich an einem Beispiel an.

Gehen wir die Quotientenregel nun anhand unserer Beispielaufgabe einmal Schritt für Schritt durch.

Unsere Aufgabe lautet:

f(x)=x4+5x3$f(x)=\frac{x^4+5}{x^3}$

Schritt 1: Formel aufschreiben

Die Quotientenregel lautet:

Schritt 2: Ableitungen der beiden Teilfunktionen bilden

Wir bilden nach den bekannten Regeln die Ableitungen von g(x)$g(x)$ (Zähler) und h(x)$h(x)$ (Nenner) des Bruchs:

g(x)=x4+5$g(x)=x^4+5$

g′(x)=4x3$g^{\prime }(x)=4x^3$

und:

h(x)=x3$h(x)=x^3$

h′(x)=3x2$h^{\prime }(x)=3x^2$

Nun sind wir bereit, unsere Teilfunktionen g(x)$g(x)$ und h(x)$h(x)$ sowie deren Ableitungen g′(x)$g^{\prime }(x)$ und h′(x)$h^{\prime }(x)$ in die Formel für die Quotientenregel einzusetzen.

Schritt 3: Quotientenregel anwenden

Wir setzen für diese Aufgabe in unsere Formel ein:

f′(x)=h(x)⋅g′(x)−g(x)⋅h′(x)(h(x))2$f^{\prime }(x)=\frac{h(x)\cdot g^{\prime }(x)-g(x)\cdot h^{\prime }(x)}{(h(x){)}^2}$

f′(x)=(x3)⋅(4x3)−(x4+5)⋅(3x2)(x3)2$f^{\prime }(x)=\frac{(x^3)\cdot (4x^3)-(x^4+5)\cdot (3x^2)}{(x^3{)}^2}$

Das ist bereits die fertige Ableitung! Allerdings können wir das Ergebnis noch ein wenig vereinfachen.

Schritt 4: Vereinfachen

f′(x)=(x3)⋅(4x3)−(x4+5)⋅(3x2)(x3)2$f^{\prime }(x)=\frac{(x^3)\cdot (4x^3)-(x^4+5)\cdot (3x^2)}{(x^3{)}^2}$

Wir multiplizieren zunächst aus:

f′(x)=4x6−3x6+15x2(x3)2$f^{\prime }(x)=\frac{4x^6-3x^6+15x^2}{(x^3{)}^2}$

f′(x)=x6+15x2(x3)2$f^{\prime }(x)=\frac{x^6+15x^2}{(x^3{)}^2}$

Nun müssen wir noch die Quadratur im Nenner des Bruchs auflösen:

f′(x)=x6+15x2x6$f^{\prime }(x)=\frac{x^6+15x^2}{x^6}$

Wir können außerdem weiter vereinfachen, indem wir x2$x^2$ ausklammern und kürzen:

f′(x)=x2(x4+15)x2(x4)$f^{\prime }(x)=\frac{x^2(x^4+15)}{x^2(x^4)}$

f′(x)=(x4+15)x4$f^{\prime }(x)=\frac{(x^4+15)}{x^4}$

Fertig! Das ist die vereinfachte Ableitung unserer Funktion.

Manchmal wirst du nicht nur der Quotientenregel allein begegnen. Häufig kommt sie zum Beispiel in Verbindung mit der Kettenregel vor. Daher lohnt sich ein Blick auch auf die anderen Ableitungsregeln. Außerdem kannst du mit unseren zahlreichen Übungsaufgaben online deine Fertigkeiten trainieren. Lies hier mehr über die anderen Regeln für Ableitungen:

• Faktorregel und Potenzregel
• Summenregel und Differenzregel
• Produktregel
• Kettenregel