Ebene ~ Ebene zueinander – online lernen
Zwei Ebenen können sich entweder schneiden, parallel zueinander sein, oder aber ineinander liegen. Das kannst du berechnen.
Lagebeziehung Ebene – Ebene
Koordinatenform
Zwei Ebenen können auf drei verschiedene Arten und Weisen zueinander liegen:
Skizze:
Liegen beide Ebenen in Koordinatenform vor, so betrachtet man beide Gleichungen zusammen als LGS, dessen Lösung (bzw. nicht vorhandene Lösung) angibt, welcher der drei Fälle vorliegt.
Beispielaufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H.
Lösung:E und F: Ix1+x2−5x3=3⇒(x1inH)⇒x3=1+t II−1x1+x3=1 ⇒inI⇒t+2x2−5(1+t)=3⇔x2=4+2t Nun haben wir Lösungen für x1,x2,x3 in Abhängigkeit vom Parameter t: →x=(t4+2t1+t) als Gerade ausgeschrieben: g:→x=(041)+t⋅(121) E und H: Ix1+2x2−5x3=3⇒(I⋅5−II)⇒x1+2x2−5x3=3 II5x1+10x2−25x3=40=−11 ⇒ Falsche Aussage. Die Ebenen schneiden sich nicht, sind also parallel. Dies erkennt man auch daran, dass die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Hätte die letzte Gleichung ergeben 0=0, also eine wahre Aussage, dann wären die Ebenen identisch. |
Lagebeziehung Ebene – Ebene
Parameterformen
Zwei Ebenen in Parameterform untersucht man auf gegenseitige Lage, indem man die Parametergleichungen gleichsetzt und das LGS löst. Da drei Gleichungen mit vier Unbekannten (zwei Parameter pro Ebene) entstehen, gibt es entweder keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen. In letzterem Fall muss noch zwischen Schnittgerade oder Identität unterschieden werden.
Beispielaufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H.
E:→x=(802)+r⋅(−411)+s⋅(50−1),F:→x=(101)+t⋅(−301)+u⋅(141),H:→x=(00−2)+v⋅(−552)+w⋅(051)
Lagebeziehung Ebene – Ebene
Mischform
Liegt eine Ebene in Parameterform und die andere in Koordinatenform vor, so setzt man die einzelnen Zeilen der Parameterform in die Koordinaten der Koordinatenform x1,x2,x3 ein. Anschließend löst man diese Gleichung, wobei typischerweise eine Abhängigkeit von den Parametern der ersten Gleichung vorliegt.
Beispielaufgabe:
Bestimme die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H:
E:2x1−2x2+6x3=24,F:→x=(912)+r⋅(−411)+s⋅(100−2),H:→x=r⋅(−332)+s⋅(60−2)
Lageparameter
Lageparameter werden genutzt, um die Lage der Stichprobenelemente bzw. der Elemente der Grundgesamtheit in Bezug auf die Messskala zu setzen. Sie ordnen einer Anzahl von Werten oder einer vom Zufall abhängigen Größe eine einzelne Zahl zu (die zentrale Tendenz), welche die Ausgangswerte möglichst gut repräsentiert.
In der beschreibenden Statistik nutzt man als Lageparameter einer Verteilung vor allem:
- Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel
- Median
- Quantile
Als Lageparameter einer (diskreten) Zufallsvariable nutzt man den Erwartungswert der Zufallsvariable.
Ebene ~ Ebene 01_1
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 12357
Ebene ~ Ebene
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5949
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 1147
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5950
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 1148
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 12358
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5951
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 1149
| Lagebeziehungen im ℝ3 Ebene ~ Ebene | Schwierigkeitsgrad 1 Serie 1 |
Aufgabe 1
Gib die Lagebeziehung der folgenden Ebenen zueinander an und begründe deine Antwort:
| a) | E1:→x=(2−43)+r(261)+s(35−2) | b) | E1:→x=4x1+3x2−x3=3 |
| E2:→x=(4−2−1)+r(3−62)+s(5−7−8) | E2:→x=5x1−2x2−4x3=3 | ||
| O echt parallel O identisch O Schnitt | O echt parallel O identisch O Schnitt | ||
| c) | E1:→x=((x1x2x3)−(4−5−1))⋅(00−1)=0 | d) | E1:→x=−3x1+3x2−6x3=6 |
| E2:→x=((x1x2x3)−(4−5−1))⋅(9−23)=0 | E2:→x=((x1x2x3)−(101))⋅(3−36)=0 | ||
| O echt parallel O identisch O Schnitt | O echt parallel O identisch O Schnitt | ||
| e) | E1:→x=2x1−8x2+4x3=6 | f) | E1:→x=(3−5−1)+r(101)+s(0−53) |
| E2:→x=(103)+r(2−64)+s(590) | E2:→x=((x1x2x3)−(221))⋅(5−3−5)=0 | ||
| O echt parallel O identisch O Schnitt | O echt parallel O identisch O Schnitt | ||
| g) | E1:→x=(100)+r(020)+s(30−3) | h) | E1:→x=(003)+r(012)+s(720) |
| E2:→x=x1+x3=1 | E2:→x=4x1−14x2+7x3=7 | ||
| O echt parallel O identisch O Schnitt | O echt parallel O identisch O Schnitt |
Aufgabe 2
Gib zu den folgenden Ebenen jeweils eine weitere parallele sowie eine dazu schneidende Ebene in der gleichen Darstellungsform an.
| a) | E:→x=(2−43)+r(261)+s(35−2) |
| b) | E:→x=4x1+3x2−x3=3 |
| c) | E:→x=((x1x2x3)−(2−31))⋅(02−1)=0 |
