Online-LernCenter

Gerade ~ Ebene

Gerade ~ Ebene zueinander – online lernen

Eine Gerade und eine Ebene können auf drei unterschiedliche Arten zueinander stehen. Wie du diese Arten berechnest, das erfährst du nun.

Wiki zum Thema: Gerade ~ Ebene

Lagebeziehung Gerade – Ebene

Geraden und Ebenen können auf drei verschiedene Arten zueinander liegen:

Je nach Darstellungsform der Ebene muss man unterschiedlich vorgehen:

Parameterform: g und E gleichsetzen und das LGS lösen
Koordinatenform: g Koordinatenweise in E einsetzen und auflösen
Normalenform: E in Koordinatenform umwandeln und g einsetzen

Beispielaufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von g und E sowie g und H :

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix}), E : x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} = - 5, H : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})$

Lösung: gund E:

$(1 + 4 s) + (0 + 5 s) + 3 (1 - 4 s) = - 5 \Leftrightarrow . . . \Leftrightarrow s = 3$

$\vec{O S} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 13 \\ 15 \\ - 11 \end{matrix}) \Rightarrow S (13, 15, - 11)$

g und H:

$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix}) \vec{L G S} (\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{4}{9} & | 0 \\ 0 & 1 & - \frac{11}{9} & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 1 \end{matrix})$

Die letzte Zeile führt zu einer falschen Aussage. Es gibt keine Lösung, also keinen gemeinsamen Punkt. g verläuft parallel zu E, g||E .

Arbeitsblätter

Gerade ~ Ebene

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 5946

Lagebeziehungen im R³

Schwierigkeitsgrad: 1

Gerade ~ Ebene

Serie 02

Aufgabe 1

Wie kann eine Gerade zu einer Ebene liegen? Ergänze folgenden Text:

Für die Geraden

g : \vec{x} = \vec{p} + r \vec{u}

und eine Ebene

E : \vec{x} = \vec{q} + s \vec{v} + t \vec{w}

gilt:

g

und

E

schneiden sich in einem Punkt, wenn die Vektorgleichung

\vec{p} + r \vec{u} = \vec{q} + s \vec{v} + t \vec{w}

Lösung

(r, s, t)

hat;

g

liegt in

E

, wenn die Vektorgleichung

\vec{p} + r \vec{u} = \vec{q} + s \vec{v} + t \vec{w}

Lösungen

(r, s, t)

hat;

g

ist parallel zu

E

und liegt nicht in

E

, wenn die Vektorgleichung

\vec{p} + r \vec{u} = \vec{q} + s \vec{v} + t \vec{w}

Lösung

(r, s, t)

hat.

Aufgabe 2

Berechne den Durchstoßpunkt von der Geraden mit der Ebene.

a)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$	$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$
b)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$	$E : 2 x_{1} + 5 x_{2} - x_{3} = 49$

Aufgabe 3

Bestimme die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene.

a)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$	b)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$	c)	$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 9 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$
	$E : 2 x_{1} + 4 x_{2} + 6 x_{3} + 12 = 0$		$E : 13 x_{1} + 5 x_{2} - 7 x_{3} = 2$		$E : 3 x_{1} + 5 x_{2} - 2 x_{3} = 7$

Gerade ~ Ebene

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 1144

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 12355

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 5947

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 1145

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 12356

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 5948

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 1146

Online lernen schon ab
9 €
pro Monat¹

Schließen

Jetzt Zugang zum Online-LernCenter sichern!

*Pflichtfeld

Die Allgemeinen Geschäftsbedingungen sowie die Datenschutzerklärung habe ich zur Kenntnis genommen und bin mit deren Inhalt einverstanden.

Sie sind bereits Kunde? Jetzt anmelden.

¹ Das Basis-Abo kostet 9 Euro im Monat und das Premium-Abo 19 Euro im Monat.

Interaktive Aufgaben

Mache jetzt einen Wissens-Check und teste deinen Lernstand direkt online.

Du kannst diesen Inhalt sehen, wenn du eingeloggt bist. Hier geht es zum Login. Wenn du noch keinen Zugang hast, kannst du dich jetzt hier registrieren.

Videos

Gerade Ebene mit Max Teil 1

Gerade Ebene mit Max Teil 2

Vektoren Lagebeziehungen - Teil I (Abiturvorbereitung)

Verwandte Themen

Gerade ~ Gerade

Ebene ~ Ebene