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Logarithmengesetze

Logarithmengesetze – online lernen

Auch beim Rechnen mit Logarithmen gibt es bestimmte Regeln, die du beachten musst.

Wiki zum Thema: Logarithmengesetze

Das erste Logarithmusgesetz


Das erste Logarithmusgesetz besagt, dass ein Produkt aus zwei Zahlen, welches logarithmiert wird, ebenso als die Summe der einzelnen Logarithmen der Zahlen geschrieben werden darf.

Das Gesetz lautet allgemein: logc(a⋅b)=logc(a)+logc(b)


Beispiel:

  • log10(5⋅13)=log10(5)+log10(13)≈1,8129

Das zweite Logarithmusgesetz


Das zweite Logarithmusgesetz besagt, dass ein Quotient aus zwei Zahlen, welcher logarithmiert wird, ebenso als die Differenz der einzelnen Logarithmen der Zahlen geschrieben werden darf.

Das Gesetz lautet allgemein: logc(ab)=logc(a)−logc(b)


Beispiel:

  • log10(411)=log10(4)−log10(11)≈−0,4393

Das dritte Logarithmusgesetz


Das dritte Logarithmusgesetz besagt, dass eine Potenz mit Basis und Exponent, welche logarithmiert wird, ebenso als ein Produkt aus Exponent und dem Logarithmus der Basis geschrieben werden darf.

Das Gesetz lautet allgemein: logc(ab)=b⋅logc(a)

Besonders wichtig ist dieses Gesetz für die Vereinfachung von Exponentialgleichungen.


Beispiel:

  • log10(53)=3⋅log10(5)≈2,0969


Arbeitsblätter

Exponentialfunktionen

Schwierigkeitsgrad: 1

Logarithmengesetze

Serie 03


Aufgabe 1

Schreibe als Potenz und bestimme x. (Beispiel: \[\textstyle \mathrm{log_2(8): 2^x=8;\ \Rightarrow x=3;}\]

a) \[\; \mathrm{log_3(27)}\]
b) \[\; \mathrm{log_{10}(10.000)}\]c) \[\; \mathrm{log_2(16)}\]
d) \[\; \mathrm{log_{20}(8000)}\]e) \[\; \mathrm{log_4(1024)}\]f) \[\; \mathrm{log_{13}(13)}\]
g) \[\; \mathrm{log_5(625)}\]h) \[\; \mathrm{log_2(256)}\]i) \[\; \mathrm{log_7(343)}\]


Aufgabe 2

Wende Logarithmusgesetze an und bestimme x.

a) \[\; \mathrm{log_3(13{,}5)+log_3(2)}\]
b) \[\; \mathrm{log_4(2^5)}\]c) \[\; \mathrm{log_{10}(500)+log_{10}(5)}\]
d) \[\; \mathrm{4\cdot log_9(3)}\]e) \[\; \mathrm{log_2(\frac{128}{256})}\]f) \[\; \mathrm{log_5(25\cdot 125)}\]


Aufgabe 3

Finde den Fehler bei der Umformung und gib das richtige Ergebnis an.

a) \[\; \mathrm{2^x=32\leftrightarrow x=log_{32}(2) \leftrightarrow x=\tfrac{1}{5}}\]b) \[\; \mathrm{log_3(12)-log_3(4)=log_3(48) \approx 37{,}52}\]
c) \[\; \mathrm{log_2(4)+log_4(4)=log_2(16)=4}\]d) \[\; \mathrm{log_3(9^3)=log_3(3\cdot9)=log_3(27)=3}\]
e) \[\; \mathrm{6^x=36\leftrightarrow x=log_636 \leftrightarrow x=6}\]f) \[\; \mathrm{log_{10}(\tfrac{100}{10})=\frac{log_{10}(100)}{log_{10}(10)}=\tfrac{2}{1}=2}\]


Aufgabe 4

Löse nach x auf.

a) \[\; \mathrm{4^x=256}\]b) \[\; \mathrm{9^x=729}\]c) \[\; \mathrm{16^x=4}\]
d) \[\; \mathrm{\big(\tfrac{1}{2}\big)^x=\tfrac{1}{32}}\]e) \[\; \mathrm{100^x=100.000.000}\]f) \[\; \mathrm{5^x=25}\]




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