Gauß-Verfahren in der Qualifikationsphase – online lernen

Gleichungssysteme lösen 

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren: Eine Zeile wird übertragen. Durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen die gleiche Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable, bis man Dreiecksform erreicht hat.

Aus der letzten Zeile bestimmt man x3 , das man in der vorletzten Zeile einsetzt um x2 zu bekommen. x2 und x3 , eingesetzt in die erste Zeile, ergeben x1 . Die Lösung gibt man als Vektor oder mithilfe der Lösungsmenge an:

Entsteht durch Umformung eine falsche Aussage, so ist das LGS nicht lösbar.

Gaußverfahren

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren: Eine Zeile wird übertragen und durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen dieselbe Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable, bis man eine Dreiecksform erreicht hat.

a1x1+a2x2+a3x3=a4b1x1+b2x2+b3x3=b4c1x1+c2x2+c3x3=c4 ⇒ ∗x1+∗x2+∗x3=∗∗x2+∗x3=∗x3=∗

Bei mehr Gleichungen bzw. mehr Variablen benötigt man entsprechend mehr Schritte. Dennoch versucht man, die untere Dreiecksform zu erhalten, um durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen zu erhalten. Entsteht durch Umformung eine falsche Aussage, so ist das LGS nicht lösbar. Entsteht eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispielaufgabe:

Löse das folgende LGS:

x1+2x2−x3=8−x1−5x2−4x3=−12−x1+x2+2x3=0

Lösung:

x1+2x2−x3=8−x1−5x2−4x3=−12−x1+x2+2x3=0

(1)+(2)⟹(1)+(3) x1+2x2−x3=8−3x2−5x3=−43x2+1x3=8

⟹(2)+(3) x1+2x2−x3=8−3x2−5x3=−4−4x3=4

⇒x3=4−4=−1 in (3)
⇒x3=−1 in (2) einsetzen: −3x2+5=−4⇒x2=3
⇒x3=−1;x2=3 in (1) einsetzen: x1+6+1=8⇒x1=1
⇒ L={(1,3,−1)}