Mathematik – Prozentrechnung

Wenn du dir diese eine Sache merkst, wird dir Prozentrechnung in der Schule viel leichter fallen: „Prozent“ bedeutet „von hundert“. Das heißt, 20 Menschen von 100 sind 20 Prozent. In der Mathematik schreibt man das Prozentzeichen so: %

Weil „Prozent“ Hundertstel angibt, kannst du jede Prozentzahl auch als Bruch schreiben:

• 20% = \(\frac{25}{100}\)
• 45% = \(\frac{45}{100}\)

Außerdem kannst du Prozentzahlen auch als Dezimalzahlen schreiben. Das ist sogar ziemlich einfach, wenn du dir merkst, dass 100 % „ein Ganzes“ ist:

• 100% = 1,0
• 50% = 0,5 
• 12% = 0,12 

Es gibt auch Prozentzahlen, die größer sind als 100:

• 120% = \(\frac{120}{100}\) = 1,2
• 500% = \(\frac{500}{100}\) = 5,0

Wenn du Stücke vom Kuchen abschneidest, kannst du in Prozent ausdrücken, wie groß dein Stück ist. Allerdings sagst du normalerweise nicht „Ich habe \( \frac{25}{100} \) vom Kuchen“

Wir können hier aber kürzen und stellen fest: \(\frac{25}{100}\) entspricht \(\frac{1}{4}\). Du hast also ein Viertel vom Kuchen – guten Appetit! 

Vielleicht sollst oder möchtest du auch berechnen, wie viel dein bester Freund ausgegeben hat, wenn sein neues PC-Spiel ihn 75 % von seinem Taschengeld gekostet hat. Oder wie viel Prozent du in der Klassenarbeit erreicht hast, wenn du 12 von 30 Punkten hast. 

Das alles machst du mit Prozentrechnung.

Wenn du mit Prozenten rechnen willst, brauchst du drei wichtige Fachbegriffe. Du musst sie dir einmal gründlich merken, dann wird dir das Rechnen mit Prozenten leichtfallen:

1. Grundwert ( G ) 

Der Grundwert ( G ) wird auch Basis oder Ausgangswert genannt. An diesen Namen erkennst du schon: Der Grundwert gibt das „Ganze“ an, von dem du später Prozente ausrechnen kannst – also zum Beispiel den ganzen Kuchen, die ganzen erreichbaren 30 Punkte in der Klassenarbeit oder die ganzen 20 € Taschengeld, die dein Freund bekommt. Du kennst bestimmt den Ausspruch: „Gib 100 %!“ Damit ist natürlich nicht gemeint „Gib nur die Hälfte!“, sondern es geht immer ums Ganze.

2. Prozentsatz ( P )

Der Prozentsatz ( P ) ist mit dem Prozentzeichen % gekennzeichnet und daher gut erkennbar. Er zeigt dir, welchen Anteil vom Ganzen du in Prozent berechnen sollst – zum Beispiel 15 % oder 250 %. 

3. Prozentwert ( W )

Der Prozentwert ( W ) ist der Anteil vom Ganzen als Zahl. Wenn du zum Beispiel 50 % von 100 ausrechnest, ist der Prozentwert 50. Hier stimmt er mit dem Prozentsatz überein, weil wir ja als Grundwert 100 haben. Wenn der Grundwert aber zum Beispiel 300 ist, dann ist der Prozentsatz zwar immer noch 50 %, aber dein Prozentwert beträgt 150 (50 % von 300). 

Bei den Formeln für die Prozentrechnung hast du zwei Möglichkeiten:

1. Du kannst dir eine einzelne Formel merken und sie bei Bedarf umstellen, um Prozentwert, Prozentsatz oder Grundwert zu berechnen.
2. Du kannst dir die drei Formeln einmal zurechtlegen und sie auswendig lernen.

So sieht die Grundformel fürs Prozentrechnen aus:

Wenn es dir leichtfällt, eine Formel bei Bedarf umzustellen, genügt es, wenn du dir die Grundformel merkst. Die Herausforderung beim Thema Prozentrechnung ist meist nicht die Formel, sondern herauszufinden, was genau gesucht wird.

Schau dir diese Aufgabe an:

In Deutschland leben 83,2 Millionen Menschen. Davon sind etwa 13,9 Millionen unter 18. Wie viel Prozent der Menschen in Deutschland sind unter 18?

Hier musst du zunächst herausfinden, was du von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert gegeben hast und was gesucht wird. Der Grundwert ist oft leicht zu finden: Hier sind es die 83,2 Millionen, denn das ist das „Ganze“ der Menschen in Deutschland. Da die 13,9 Millionen als absolute Zahl angegeben sind – ohne Prozentzeichen – weißt du, dass es sich hier um den Prozentwert handelt. Du musst also den Prozentsatz berechnen.

Wir schauen uns zu allen möglichen Konstellationen jetzt Beispiele an.

Hier findest du einige Textaufgaben zur Prozentrechnung, denn in dieser Form werden sie dir in Mathematik am häufigsten begegnen.

Am besten gehst du beim Lösen solcher Aufgaben immer nach diesem System vor:

1. Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert suchen: Was ist gegeben, was wird gesucht?
2. Formel entsprechend umstellen
3. einsetzen und ausrechnen

Beispiel 1

Wir nehmen noch einmal die Aufgabe von oben:

In Deutschland leben 83,2 Millionen Menschen. Davon sind etwa 13,9 Millionen unter 18. Wie viel Prozent der Menschen in Deutschland sind unter 18?

Wir haben bereits herausgefunden, dass der Prozentsatz gesucht wird. Dazu brauchen wir also diese Formel:

\(P\ = \frac{100  ·  W}{G}\)

Wir setzen den gefundenen Grundwert (83,2 Millionen) und den Prozentwert (13,9 Millionen) ein:

\(P\ = \frac{100 · 13.900.000}{18.200.000}\)

Jetzt können wir ausrechnen. Wichtig: Da du hier den Prozentsatz berechnest, musst du auch ein Prozentzeichen zum Ergebnis hinzufügen: 

\(P\ = \frac{100 · 13.900.000}{18.200.000} = 16,71%\)

Am Ende formulierst du noch einen Antwortsatz zur Frage: Ungefähr 16,71 % der Menschen in Deutschland sind unter 18.

Tipp: Normalerweise ist es sinnvoll, Prozentzahlen auf zwei Nachkommastellen zu runden. Frage dazu einfach deine Lehrer:innen. 

Beispiel 2

Aufgabe:

Gleich am ersten Tag nach den Ferien haben 20 % der Schüler:innen ihr Ferientagebuch vergessen. Das sind 6 Kinder aus der Klasse. Wie viele Schüler:innen hat die Klasse insgesamt?

Zuerst findest du heraus, was gesucht und gegeben ist. Es findet sich eine Zahl mit Prozentzeichen, du weißt also, dass du den Prozentsatz gegeben hast. Den Prozentwert hast du ebenfalls: einen Anteil von 6 Kindern aus der Klasse.

Es fehlt der Grundwert der Prozentrechnung.

Wir brauchen also folgende Formel:

\(G\ = \frac{100  ·  W}{P}\)

Wir setzen ein:

\(G\ = \frac{100  ·  6}{20}\)

Jetzt können wir ausrechnen:

\(G\ = \frac{100  ·  6}{20} = \frac{600}{20} = 30\)

Antwortsatz: Es gibt 30 Kinder in der Klasse.

Beispiel 3

Aufgabe:

Bei einem Feuer wurden 15 % der 4.800 Bücher in einer Bibliothek zerstört. Wie viele Bücher sind dem Feuer zum Opfer gefallen?

Du siehst sofort: Es gibt eine Zahl mit Prozentzeichen – den Prozentsatz. Auch das „Ganze“, also den Grundwert, hast du gegeben: Es gab ursprünglich 4.800 Bücher. Du musst die Aufgabe also so lösen, dass du den Prozentwert errechnen kannst. Die Formel dafür lautet:

\(W\ = \frac{G ·  P}{100%}\)

Jetzt kannst du einsetzen:

\(W\ = \frac{4.800 · 15}{100}\)

Und rechnen: 

\(W\ = \frac{4.800 ·  15}{100} = \frac{7.200}{100} = 720\)

Man erhält 720 als Ergebnis für den Prozentwert. Dein Antwortsatz könnte lauten: 720 Bücher wurden im Feuer zerstört. 

Beispiel 4

Ist der Prozentsatz größer als 100 %, gilt trotzdem die gleiche Vorgehensweise. Hier ein Beispiel dazu:

Jan verdient sich mit dem Austragen von Zeitungen in der Woche 20 € zum Taschengeld hinzu. Im letzten Monat hat er 120 % seines üblichen Lohns bekommen. Wie viel ist das? 

Du erkennst wieder sofort einen Prozentsatz: 120 %. Es stört nicht, dass dieser größer als 100 % ist, wir können trotzdem normal damit rechnen. Das „Ganze“ ist in diesem Fall etwas schwierig. Hier ist es wichtig, dass wir das ursprüngliche Ganze wählen – also die ursprünglichen 20 €. Das ist unser Grundwert. Denn den neuen Anteil, den Prozentwert, kennen wir noch nicht.

Wir rechnen:

\(W\ = \frac{G ·  P}{100}\)

\(W\ = \frac{20 ·  120}{100} = \frac{240}{100} = 24\)

Antwort: Jan hat im letzten Monat 24 € bekommen.

• „Prozent“ bedeutet „von hundert“. Deshalb kannst du jede Prozentzahl als einen Bruch darstellen: \(20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \)
• In der Prozentrechnung berechnest du den Grundwert ( G ), den Prozentsatz ( P ) oder den Prozentwert ( W ). 
• Die Formel zum Prozentrechnen lautet: 100 · W = G · P
• Du kannst mit Prozentzahlen normal rechnen: addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.  
• Auch Prozentsätze größer als 100 % sind möglich.

Wie geht die Formel für Prozentrechnung?

Die Grundformel für Prozentrechnung lautet: 100 · W = G · P 

Dabei ist G der Grundwert (das „Ganze“, z. B. der ganze Kuchen), P der Prozentsatz (mit Prozentzeichen) und W der Prozentwert, der Anteil des Ganzen, den du berechnen sollst. 

Was sind die drei Formeln der Prozentrechnung?

Du kannst dir entweder die Grundformel merken und sie umstellen, wie du sie brauchst, oder du merkst dir die drei Formeln nach Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert umgestellt:

\(G = \frac{100 · W}{P}\)

\(P = \frac{100 · W}{G}\)

\(W = \frac{100 · P}{100}\)

Wie rechnet man 5 % von 100?

Gegeben sind der Grundwert (100) und der Prozentsatz (5 %). Du willst also wissen, was der Prozentwert (W) ist. Setze in die passende Formel ein:

\(W\ = \frac{G  ·  P}{100} = \frac{105  ·  5}{100} = 5\)

Antwort: 5 % von 100 sind 5.