Fläche zwischen zwei Funktionen – online lernen

Fläche zwischen zwei Funktionen

Schaubilder mehrerer Funktionen schließen oft gemeinsame Flächen ein. Diese können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.

Sei g(x) die "obere" und f(x) die "untere" Funktion, die von beiden Funktionen eingeschlossene Fläche beginnt bei x=a  und endet bei x=b. Ihren Flächeninhalt A berechnet man dann durch

A=∫ba(g(x)−f(x))dx

Wichtig ist hierbei, dass sich die beiden Funktionen im Intervall (a;b) nicht so schneiden dürfen, dass aus der oberen Funktion danach die untere wird und umgekehrt. Ist das doch der Fall, muss gegebenenfalls von Schnittpunkt zu Schnittpunkt gerechnet werden.

Beispiele:

Im linken Beispiel sind die beiden Funktionen f(x)=x2 und g(x)=−x2+4.
Sie schneiden sich bei −√2 und √2.

Als Fläche ergibt sich also:

A=∫√2−√2((−x2+4)−(x2))dx=∫√2−√2(−2x2+4)dx=[−23x3+4x]√2−√2=(−23⋅(√2)3+4⋅(√2))−(−23⋅(−√2)3+4⋅(−√2))=−43⋅√2+4⋅√2−43⋅√2+4⋅√2=163√2≈7,54 FE