Koordinatenform Ebene – online lernen
Die Koordinatenform ist eine von drei möglichen Formen eine Ebenengleichung aufzustellen. Sie kommt ohne Vektoren aus.
Ebenen
Koordinatenform
Ebenen im Raum können auch durch Koordinatenformen beschrieben werden:
\(E:n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=d\quad n_{i},d\in \mathbb{R}\)
wobei die Zahlen \(n_{1},n_{2},n_{3}\) die Einträge des Normalenvektors \(\vec{n}\) der Ebene sind. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.
Alle Punkte, die Teil der Ebene sind, erfüllen die Koordinatengleichung, wenn man ihre Koordinaten für \(x_{1},x_{2},x_{3}\) einsetzt. Dementsprechend können wir überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, indem wir ihn in die Koordinatenform der Ebenen einsetzen. Entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Ebene, ansonsten nicht.
Dieses Verfahren ist − im Vergleich zur Punktprobe mit der Parameterform − besonders geeignet, wenn man für mehrere Punkte überprüfen will, ob sie in einer Ebene liegen. Denn hier muss statt ein ganzes Gleichungssystem zu lösen nur der Wert einer Gleichung berechnet werden.
Beispielaufgabe 1:
Gegeben ist die Ebene \(E:2x_{1}+4x_{2}-3x_{3}=12\).
Bestimme zwei Punkte \[A\] und \[B\], die in \[E\] liegen.
Lösung:
Strategie 1:
Wähle eine Koordinate \(x_{i}\) so, dass \(n_{i}x_{i}=d\) gilt. Die anderen Koordinaten sind dann 0.
Wählt man dafür \(x_{1}\), gilt \(2x_{1}=12\Rightarrow x_{1}=6\).
Der Punkt lautet dann also \(A\ (6\,|\,0\,|\,0)\).
Strategie 2:
Wähle beliebige Werte für zwei Koordinaten und bestimme die dritte Koordinate dann so, dass sie die Koordinatengleichung löst.
Wähle z.B. \(x_{1}=4\) und \(x_{2}=4\) beliebig, das liefert \(2\cdot 4+4\cdot 4-3\cdot x_{3}=12\).
Auflösen nach \[x_3\] ergibt dann \[24-3\cdot x_{3}=12\Rightarrow -3\cdot x_{3}=-12\Rightarrow x_{3}=4\].
Der Punkt lautet dann also \(A\ (4\,|\,4\,|\,4)\).
Beispielaufgabe 2:
Prüfe, ob die Punkte \(Q\ (2\,|\,2\,|\,0)\) und \(R\ (-2\,|\,1\,|\,4)\) in \[E\] enthalten sind.
Lösung:
Punktprobe für \[Q\]:
\(2\cdot 2+4\cdot 2-3\cdot 0=12 \Longrightarrow 4+8=12 \Rightarrow 12=12 \Rightarrow Q\in E\)
Punktprobe für \[R\]:
\(2\cdot (-2)+4\cdot 1-3\cdot 4=12 \Longrightarrow -4+4-12=12 \Rightarrow -12=12 \Rightarrow R\not\in E\)
Koordinatenform
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5940
Ebenen | Schwierigkeitsgrad: 1 | ||||||||
Koordinatenform | Serie 02 | ||||||||
Aufgabe 1 | |||||||||
Liegen die folgenden Punkte auf der Ebene E:−x1−2x2+x3+6=0 ? | |||||||||
A(5|2|3) ; B(4|5|8) ; C(0|5|1) ; D(−2|−2|−2) ; E(5|3|4) ; F(−3|−1|−11) | |||||||||
Aufgabe 2 | |||||||||
Bestimme die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. | |||||||||
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Aufgabe 3 | |||||||||
Bestimme eine Koordinatenform der Ebene welche durch die folgenden 3 Punkte verläuft. | |||||||||
a) A(5|0|3) ; B(4|5|0) ; C(0|5|1) b) A(−2|0|−2) ; B(5|3|4) ; C(−3|−1|−11) c) A(−1|−2|−3) ; B(5|0|4) ; C(−3|2|5) | |||||||||
Aufgabe 4 | |||||||||
Bestimme die Ebene in Koordinatenform welche durch die Gerade g und den Punkt P verläuft! | |||||||||
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Koordinatenform
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 1126
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5941
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 1127
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5942
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 1128
