Koordinatenform Ebene – online lernen

Ebenen
Koordinatenform

Ebenen im Raum können auch durch Koordinatenformen beschrieben werden:

E:n1x1+n2x2+n3x3=dni,d∈R

wobei die Zahlen n1,n2,n3 die Einträge des Normalenvektors →n der Ebene sind. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Alle Punkte, die Teil der Ebene sind, erfüllen die Koordinatengleichung, wenn man ihre Koordinaten für x1,x2,x3 einsetzt. Dementsprechend können wir überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, indem wir ihn in die Koordinatenform der Ebenen einsetzen. Entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Ebene, ansonsten nicht.

Dieses Verfahren ist − im Vergleich zur Punktprobe mit der Parameterform − besonders geeignet, wenn man für mehrere Punkte überprüfen will, ob sie in einer Ebene liegen. Denn hier muss statt ein ganzes Gleichungssystem zu lösen nur der Wert einer Gleichung berechnet werden.

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Beispielaufgabe 1:

Gegeben ist die Ebene E:2x1+4x2−3x3=12.

Bestimme zwei Punkte A

und B, die in E liegen.

Lösung:

Strategie 1:

Wähle eine Koordinate xi so, dass nixi=d gilt. Die anderen Koordinaten sind dann 0.

Wählt man dafür x1, gilt 2x1=12⇒x1=6.

Der Punkt lautet dann also A (6|0|0).

Strategie 2:

Wähle beliebige Werte für zwei Koordinaten und bestimme die dritte Koordinate dann so, dass sie die Koordinatengleichung löst.

Wähle z.B. x1=4 und x2=4 beliebig, das liefert 2⋅4+4⋅4−3⋅x3=12.

Auflösen nach x3

ergibt dann 24−3⋅x3=12⇒−3⋅x3=−12⇒x3=4.

Der Punkt lautet dann also A (4|4|4).

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Beispielaufgabe 2:

Prüfe, ob die Punkte Q (2|2|0) und R (−2|1|4) in E

enthalten sind.

Lösung:

Punktprobe für Q

:
2⋅2+4⋅2−3⋅0=12⟹4+8=12⇒12=12⇒Q∈E

Punktprobe für R

:
2⋅(−2)+4⋅1−3⋅4=12⟹−4+4−12=12⇒−12=12⇒R∉E