Integralrechnung

Die Integralrechnung ist ein Teil der Analysis. Sie wird genutzt, um Flächeninhalte und Volumen zu berechnen, und ist eng verwandt mit der Differentialrechnung. In der Integralrechnung bildest du bestimmte und unbestimmte Integrale. Dazu musst du die Stammfunktion einer Funktion bestimmen. 

Die Stammfunktion entspricht dem unbestimmten Integral einer Funktion. Oder ganz korrekt ausgedrückt: Die Menge aller möglichen Stammfunktionen ergibt das unbestimmte Integral. Um die Stammfunktion von der ursprünglichen Funktion zu unterscheiden, nutzen wir die Schreibweise mit großem F$F$:

f(x)→$f(x)\to$ursprüngliche Funktion
F(x)→$F(x)\to$Stammfunktion

Durch das Ableiten der Stammfunktion erhältst du wieder die ursprüngliche Funktion. 

Beispiel:

f(x)=12x2F(x)=∫12x2dx=4x3+C$$\begin{gathered} f(x)=12x^2 \\ F(x)=\int 12x^2\mathrm{d}x=4x^3+C \end{gathered}$$

C$C$ steht für die Integrationskonstante. Da Konstanten beim Ableiten einfach wegfallen, kann C$C$ jede beliebige Zahl sein. Somit gibt es auch unendlich viele Möglichkeiten, wie die Stammfunktion aussehen kann. Mehr darüber erfährst du auf unserer Seite, wie du die Stammfunktion bestimmen kannst.

Am einfachsten zu berechnen ist das unbestimmte Integral. Dazu bildest du einfach die Stammfunktion einer Funktion - vergiss dabei nicht die Integrationskonstante C$C$. Ein unbestimmtes Integral hat keine Integrationsgrenzen.

Ein bestimmtes Integral kannst du jedoch ganz konkret berechnen: Es gibt nämlich den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen deiner Funktion und der x-Achse an, und zwar in dem angegebenen Intervall. So sieht das in der korrekten Schreibweise aus:

∫baf(x)dx${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$

Hier sind a$a$ und b$b$ die Integrationsgrenzen, die das Intervall angeben. Die Integrationsvariable bezeichnen wir mit der bekannten Variable x$x$. Und das kleine d$\mathrm{d}$ steht für das Differential. Berechnen wir zum besseren Verständnis einmal ein bestimmtes Integral. Dazu brauchen wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er lautet: 

∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\left[F(x)\right]}_a^b=F(b)-F(a)$

Beispiel:

Um das bestimmte Integral zu berechnen, müssen wir zunächst die Stammfunktion bestimmen:

∫baf(x)dx=[−14x2+4x+C]50${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\left[-\frac{1}{4}{x}^2+4x+C\right]}_0^5$

Nachdem wir die Stammfunktion gebildet haben, wenden wir nun den Hauptsatz an, indem wir die Integralgrenzen einsetzen und die Differenz bilden: 

[−14⋅52+4⋅5+C]−[−14⋅02+4⋅0+C]=13,75+C−C=13,75$\left[-\frac{1}{4}\cdot 5^2+4\cdot 5+C\right]-\left[-\frac{1}{4}\cdot 0^2+4\cdot 0+C\right]=13,75+C-C=13,75$

Das bedeutet: Der Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse im Intervall 0 bis 5 beträgt 13,75. Prima! 

Wenn wir ein Integral berechnen, erhalten wir als Ergebnis einen Zahlenwert. Die Integralfunktion ist hingegen eine Funktion, die den Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der x-Achse angibt, jedoch von einer Variable x$x$ abhängt: 

F(x)=∫xaf(t)dt$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$

Da hier eine Variable vorhanden ist, können wir keinen absoluten Zahlenwert berechnen. Das Ergebnis einer Integralfunktion ist daher immer wieder eine Funktion. Du wendest zwar ebenso den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, doch einen Teil des Ergebnisses kannst du eben nicht bis zu einem Zahlenwert berechnen.

Beispiel:

∫x3t2dt=[13t3]33=13x3−9${\int }_3^x{t}^2\mathrm{d}t={\left[\frac{1}{3}{t}^3\right]}_3^3=\frac{1}{3}{x}^3-9$

Übrigens: Eine Integralfunktion hat immer mindestens eine Nullstelle, und zwar an der Stelle x=a$x=a$, in unserem Beispiel also an der Stelle x=3$x=3$. 

Von der Arbeit mit Ableitungen kennst du bereits zahlreiche Ableitungsregeln. Da das Ableiten das Gegenstück zum Integrieren ist, sind die Integrationsregeln auch das Gegenstück zu den Ableitungsregeln: Sie helfen uns, Integrale korrekt zu berechnen. Du bekommst hier einen groben Überblick über die Integrationsregeln.

1. Die Potenzregel

Die Potenzregel kommt sehr häufig vor. Sie lautet:

f(x)=xn$f(x)=x^n$

F(x)=1n+1xn+1+C$F(x)=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$

Was das genau bedeutet, kannst du an einem Beispiel viel leichter erkennen:

f(x)=x$f(x)=x$3${}^3$

F(x)=13+1x$F(x)=\frac{1}{3+1}x$3${}^3$+1+C=14x4+5${}^{+1}+C=\frac{1}{4}{x}^4+5$

Unsere Integrationskonstante C$C$ ist in diesem Beispiel die 5. Erinnere dich aber: Es gibt hier unendlich viele Möglichkeiten. 

2. Faktorregel

Taucht in deiner zu integrierenden Funktion ein konstanter Faktor a$a$ auf, darfst du diesen dank der Faktorregel vor das Integral ziehen. So kannst du leichter das Integral bilden und zum Schluss einfach ausmultiplizieren.

Mathematisch ausgedrückt heißt das:

∫a⋅f(x)dx=a⋅∫f(x)dx$\int a\cdot f(x)\mathrm{d}x=a\cdot \int f(x)\mathrm{d}x$

Beispiel:

Wir bestimmen das unbestimmte Integral dieser Funktion:

f(x)=23x4$f(x)=\frac{2}{3}{x}^4$

Unser Faktor ist 23$\frac{2}{3}$. Wir können also schreiben:

∫23x4dx=23∫x4dx$\int \frac{2}{3}{x}^4\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\int x^4\mathrm{d}x$

Wir integrieren x4$x^4$ mithilfe der Potenzregel:

23∫x4dx=23⋅15x5+C$\frac{2}{3}\int x^4\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5}{x}^5+C$

Und wir vereinfachen:

23⋅15x5+C=215x5+C$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5}{x}^5+C=\frac{2}{15}{x}^5+C$

Fertig!

3. Die Summen- und Differenzregel

Die Summenregel in der Integralrechnung besagt, dass du bei zu integrierenden Summen einfach beide Summanden separat integrieren und die Ergebnisse zum Schluss addieren darfst. Mathematisch sieht das so aus: 

∫g(x)+h(x)dx=∫g(x)dx+∫h(x)dx$\int g(x)+h(x)\mathrm{d}x=\int g(x)\mathrm{d}x+\int h(x)\mathrm{d}x$

Analog dazu gibt es auch noch die Differenzregel, bei der du nicht eine Summe, sondern eine Differenz bildest: 

∫g(x)−h(x)dx=∫g(x)dx−∫h(x)dx$\int g(x)-h(x)\mathrm{d}x=\int g(x)\mathrm{d}x-\int h(x)\mathrm{d}x$

Beispiel:

Wir wollen das unbestimmte Integral der Funktion f(x)=3x2+x4$f(x)=3x^2+x^4$ bilden.

∫$\int$3x2dx$3x^2\mathrm{d}x$+∫$+\int$x4dx$x^4\mathrm{d}x$=?$=?$

Wir integrieren zunächst beide Teilfunktionen separat und bilden dann die Summe daraus:

∫3x2dx+∫x4dx=$\int 3x^2\mathrm{d}x+\int x^4\mathrm{d}x=$x3$x^3$+$+$15x5$\frac{1}{5}{x}^5$+C$+C$

Fertig. Gar nicht schwierig, oder?

4. Die partielle Integration

Die partielle Integration musst du verwenden, wenn du in der Integralrechnung auf eine Funktion stößt, die aus dem Produkt zweier Teilfunktionen g(x)$g(x)$ und h(x)$h(x)$ besteht. Die Regel dafür lautet: 

∫f(x)dx=g⋅h−∫g′⋅hdx$\int f(x)\mathrm{d}x=g\cdot h-\int g^{\prime }\cdot h\mathrm{d}x$

Beispiel:

Wir wollen die Funktion f(x)=4x⋅ex$f(x)=4x\cdot {\mathrm{e}}^x$ integrieren. Zuerst bestimmen wir die beiden Teilfunktionen. Sie heißen:

g=4x$g=4x$

h=ex$h=e^x$

Zusätzlich brauchen wir zum Einsetzen in unsere Formel die Ableitung von g$g$ und die Stammfunktion von h$h$:

g′=4$g^{\prime }=4$

∫exdx=ex+C$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$

Nun können wir in die Formel einsetzen:

∫f(x)dx=$\int f(x)\mathrm{d}x=$g$g$⋅$\cdot$h$h$−∫$-\int$g′$g^{\prime }$⋅$\cdot$hdx$h\mathrm{d}x$

∫f(x)dx=$\int f(x)\mathrm{d}x=$4x$4x$⋅$\cdot$ex${\mathrm{e}}^x$−∫$-\int$4$4$⋅$\cdot$exdx${\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$

Jetzt integrieren wir. Nach der Faktorregel können wir den Vorfaktor 4 im zweiten Teil vor das Integral ziehen, um uns diesen Prozess zu erleichtern, und einfach nur ex$e^x$ integrieren: 

∫f(x)dx=$\int f(x)\mathrm{d}x=$4x$4x$⋅$\cdot$ex${\mathrm{e}}^x$−$-$4$4$⋅$\cdot$ex+C${\mathrm{e}}^x+C$

Zur Vereinfachung klammern wir schließlich noch 4ex$4e^x$ aus:

F(x)=4ex(x−1)+C$F(x)=4{\mathrm{e}}^x(x-1)+C$

Fertig!

5. Die Integration durch Substitution

Die Substitutionsregel benutzt du zum Integrieren von verketteten Funktionen. Sie lautet:

∫f(x)dx=∫f(ϕ(z))⋅ϕ′(z)dz$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f\left(\varphi (z)\right)\cdot {\varphi }^{\prime }(z)\mathrm{d}z$

Mithilfe der Substitutionsregel können wir einen schwierig zu integrierenden Teil durch einen anderen Ausdruck ersetzen, dann integrieren, und zum Schluss den ursprünglichen Ausdruck wieder einsetzen. Das erleichtert es uns, das Integral zu berechnen. 

Beispiel:

Bilde das unbestimmte Integral von f(x)=e4x$f(x)=e^{4x}$.

Wir ersetzen (substituieren) hier den Exponenten 4x$4x$:

4x$4x$=$=$z$z$

Daraus folgt:

x=14z$x=\frac{1}{4}z$ (das entspricht ϕ(z)$\varphi (z)$)

Es gilt außerdem:

dx$\mathrm{d}x$=$=$14dz$\frac{1}{4}\mathrm{d}z$

Jetzt können wir substituieren:

F(x)=∫e$F(x)=\int e$4x${}^{4x}$dx$\mathrm{d}x$

F(z)=∫e$F(z)=\int e$z${}^z$⋅$\cdot$14dz$\frac{1}{4}\mathrm{d}z$

Wir integrieren:

F(z)=14∫ezdz=14ez+C$F(z)=\frac{1}{4}\int e^z\mathrm{d}z=\frac{1}{4}{e}^z+C$

Und zuletzt setzen wir den ursprünglichen Ausdruck für z$z$ wieder ein: 

14e$\frac{1}{4}e$z${}^z$+C=14e$+C=\frac{1}{4}e$4x${}^{4x}$+C$+C$

Fertig!

Hier findest du eine Übersicht weiterer Integrationsregeln. Diese lernst du am besten auswendig, damit du sie immer parat hast. 

Logarithmisches Integrieren

Die logarithmische Integration ist ein Spezialfall der Integration durch Substitution. Du verwendest diese Formel, wenn du einen Bruch integrieren sollst, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist. Das sieht dann so aus:

∫baf′(x)f(x)dx${\int }_a^b\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x$

Hier wendest du die Substitutionsregel so an, dass du f(x)$f(x)$ substituierst. Du erhältst dann dz=z′dx=f′(x)dx$\mathrm{d}z=z^{\prime }\mathrm{d}x=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$, und daraus folgt:

∫baf′(x)f(x)dx=∫f(b)f(a)1zdz=[ln|z|]f(b)f(a)${\int }_a^b\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x={\int }_{f(a)}^{f(b)}\frac{1}{z}\mathrm{d}z={\left[\ln |z|\right]}_{f(a)}^{f(b)}$

∫f′(x)f(x)dx=∫1zdz=ln|z|+C=ln|f(x)|+C$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{z}\mathrm{d}z=\ln |z|+C=\ln |f(x)|+C$

Das sieht ziemlich kompliziert aus, doch wenn du beim Einsetzen konsequent bist, gelangst du zum richtigen Ergebnis!

Du weißt bereits, dass wir mithilfe der Integralrechnung Flächeninhalte berechnen können. Doch wie funktioniert das eigentlich? Geometrisch lässt sich das mithilfe der Obersumme und Untersumme erklären: 

Hier siehst du, dass die Obersumme (grün) und die Untersumme (rot) sich dem Verlauf des Funktionsgraphen immer weiter annähern. Je kleiner die Rechtecke werden, desto genauer wird auch das Ergebnis. 

Du kannst auch den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen bestimmen. Dazu musst du zunächst die Schnittpunkte der Funktionen berechnen. Dafür solltest du wissen, wie man Nullstellen von Funktionen bestimmt. 

Hast du die Schnittpunkte gefunden, ist der Rest einfach, denn für die Berechnung der Fläche gibt es wiederum eine Formel. Sie lautet:

∣∣∫S2S1[g(x)−h(x)]dx∣∣$\left|{\int }_{S_1}^{S_2}\left[g(x)-h(x)\right]\mathrm{d}x\right|$

Für S1$S_1$ und S2$S_2$ setzt du nun einfach die x-Werte deiner gefundenen Schnittpunkte ein, und schon kannst du das Integral berechnen.

Mithilfe der Integralrechnung kannst du nicht nur Flächeninhalte im zweidimensionalen, sondern auch Volumeninhalte im dreidimensionalen Raum berechnen. Einen Rotationskörper erhältst du, indem du eine geometrische Funktion (zum Beispiel ein Dreieck) um die x-Achse oder um die y-Achse rotieren lässt. Bei einem Dreieck erhältst du zum Beispiel als dreidimensionale Form einen Kegel, bei einem Rechteck einen Zylinder. Es sind aber auch kompliziertere Formen möglich:

Das Volumen von Rotationskörpern kannst du mithilfe zweier Formeln berechnen. Dabei ist es sehr wichtig, dass du unterscheidest, ob der Körper um die x-Achse oder um die y-Achse rotiert. Dafür unterscheiden sich nämlich die Formeln:

Formel für die Rotation um die x-Achse

V=π⋅∫ba(f(x))2dx$V=\pi \cdot {\int }_a^b{\left(f(x)\right)}^2\mathrm{d}x$

Dabei sind a und b genau wie im zweidimensionalen Raum die Integrationsgrenzen. 

Formal für die Rotation um die y-Achse

V=π⋅∫max{f(a),f(b)}min{f(a),f(b)}(f−1(y))2dy$V=\pi \cdot {\int }_{min\{f(a),f(b)\}}^{max\{f(a),f(b)\}}{\left(f^{-1}(y)\right)}^2\mathrm{d}y$

Wie du siehst, brauchst du zum Berechnen f−1(x)$f^{-1}(x)$, also die Umkehrfunktion deiner Funktion. Du musst außerdem wieder Integrationsgrenzen einsetzen. Das ist aber einfach, du musst nur berücksichtigen, dass diese diesmal auf der y-Achse liegen. Bei min{f(a),f(b)}$min\{f(a),f(b)\}$ handelt es sich um den kleineren, bei max{f(a),f(b)}$max\{f(a),f(b)\}$ um den größeren Wert. 

Wenn du eine stetige Funktion untersuchen sollst, kannst du den (ersten) Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden. Dieser wird auch Cauchyscher Mittelwertsatz genannt. Du kannst diesen Mittelwertsatz benutzen, um ein Integral auf einfache Weise annähernd zu bestimmen, ohne es genau zu berechnen.

Er lautet:

∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$

Für den wichtigen Spezialfall g=1$g=1$ ergibt sich daraus:

∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$

Tipp: ξ$\xi$ ist ein griechischer Buchstabe. Man spricht ihn „xi“. f(ξ)$f(\xi )$ ist der durchschnittliche Funktionswert von f$f$.

Was bedeutet dieser Satz? Wenn du den Flächeninhalt eines Integrals innerhalb eines bestimmten Intervalls berechnen möchtest, gibt es dazu immer auch ein Rechteck mit exakt diesem Flächeninhalt.

Die Breite dieses Rechtecks ist nun b−a$b-a$, und die Höhe des Rechtecks ist f(ξ)$f(\xi )$, der durchschnittliche Funktionswert. Damit kannst du also den Durchschnitt aller y-Werte im Intervall [a,b]$[a,b]$ berechnen, also den durchschnittlichen Flächeninhalt: 

f(ξ)=1b−a∫baf(x)dx=1b−a[F(b)−F(a)]$f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{b-a}[F(b)-F(a)]$

Uneigentliche Integrale sind spannend: Dabei handelt es sich um Integrale mit sogenannten kritischen Intervallgrenzen. Das sind Intervallgrenzen, die nicht einfach aus einer reellen Zahl bestehen, sondern

• entweder nicht definiert sind oder
• gegen plus oder minus unendlich gehen.

Bei der Berechnung geht es darum herauszufinden, ob das Integral einen endlichen Wert hat und wenn ja, wie groß dieser ist. Du berechnest uneigentliche Integrale mit folgenden drei Schritten:

1. Du ersetzt die kritische Grenze durch eine Variable.
   Der Einfachheit halber nutzen wir hier die Variable α$\alpha$ für a$a$ und β$\beta$ für b$b$.
2. Du bestimmst die Stammfunktion.
3. Du berechnest den Grenzwert von α$\alpha$ bzw. β$\beta$, wenn diese gegen a$a$ bzw. b$b$ gehen, und setzt dieses Ergebnis ein.

Erhältst du für den Grenzwert reelle Zahlen – häufig zum Beispiel 0 oder auch π$\pi$ –, dann kannst du das Integral ausrechnen und erhältst wie gewohnt einen Zahlenwert. Geht der Grenzwert jedoch gegen unendlich, dann weißt du, dass dein uneigentliches Integral keinen endlichen Wert hat und somit nicht exakt bestimmt werden kann. 

Achtung: Wenn du uneigentliche Integrale hast, die nicht nur eine, sondern gleich zwei kritische Grenzen haben (also sowohl a$a$ als auch b$b$), dann musst du ein solches Integral zunächst so aufteilen, dass du zwei uneigentliche Integrale erhältst, die jeweils nur eine kritische Grenze haben. Hat dein ursprüngliches Integral also die Grenzen −∞$-\mathrm{\infty }$ und +∞$+\mathrm{\infty }$, dann könntest du zunächst das Integral der Funktion von −∞$-\mathrm{\infty }$ bis 0$0$ bestimmen und dann das Integral von 0$0$ bis +∞$+\mathrm{\infty }$. Anschließend addierst du einfach die Ergebnisse.