Es kann mal vorkommen, dass du Integrale berechnen musst, die bis ins Unendliche gehen. Das sind uneigentliche Integrale. Hier lernst du, mit diesen zu rechnen.
Flächen, die bis ins Unendliche reichen, können trotzdem einen endlichen Flächeninhalt haben. Die Berechnung dieser Flächeninhalte erfolgt mittels uneigentlicher Integrale.
Es gibt zwei Möglichkeiten solcher Flächen:
Nach rechts bzw. links unbegrenzte Flächen, wenn die Funktion f
Nach oben bzw. unten begrenzte Flächen, die sich einer Definitionslücke x0
Man wählt also in beiden Fällen eine benachbarte Stelle u
Das berechnete Integral hat dann einen endlichen Wert, wenn der berechnete Grenzwert endlich ist.
Beispielaufgabe:
Berechne die Fläche zwischen der x
a) f(x)=1x2;[1;∞)
Lösung:
u∫11x2dx=[−1x]u1=−1u−(−11)=−1u+1;limu→∞(−1u+1)=1
b) f(x)=1√x;(0;1]
Lösung:
1∫u1√xdx=[2√x]1u=2√1−2√u=2−2√u;limu→0(2−2√u)=2
Uneigentliche Integrale
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5805
Das Integral | Schwierigkeitsgrad: 1 |
Uneigentliche Integrale | Serie 02 |
Aufgabe 1 | |
Berechne, falls existent, die folgenden Integrale. | |
a) ∫∞22x2dx b) ∫103xdx c) ∫0−∞e3xdx d) ∫1−∞(e2x−1+1)dx e) ∫∞13x+4x3dx | |
Aufgabe 2 | |
Gegeben sei die Funktion f(x)=12x2 sowie eine Parallele zur y - Achse mit x = 2. | |
a) Skizziere den gegebenen Sachinhalt. b) Zeige, dass der Flächeninhalt, der vom Graphen der Parallelen und der y - Achse eingeschlossen wird, nicht existiert. c) Zeige weiterhin, dass der Flächeninhalt der ins Unendliche reichenden Fläche existiert und bestimme ihn. | |
Aufgabe 3 | |
Bestimme den Parameter a∈R so, dass folgende uneigentliche Integrale gegen den gewünschten Wert konvergieren. | |
a) ∫∞2ax3dx=12 b) ∫−1−∞eaxdx=e−1;a>0 c) ∫−2−∞a+1x2dx=0 d) ∫∞0ae−xdx=√5 | |
Uneigentliche Integrale
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 964
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5806
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 965
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5807
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 966