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Uneigentliche Integrale – online lernen

Es kann mal vorkommen, dass du Integrale berechnen musst, die bis ins Unendliche gehen. Das sind uneigentliche Integrale. Hier lernst du, mit diesen zu rechnen.

Wiki zum Thema: Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale

Flächen, die bis ins Unendliche reichen, können trotzdem einen endlichen Flächeninhalt haben. Die Berechnung dieser Flächeninhalte erfolgt mittels uneigentlicher Integrale.

Es gibt zwei Möglichkeiten solcher Flächen:

  1. Nach rechts bzw. links unbegrenzte Flächen, wenn die Funktion f

    gegen einen Grenzwert konvergiert:

    Dann gilt af(x)dx=limuuaf(x)dx

  2. Nach oben bzw. unten begrenzte Flächen, die sich einer Definitionslücke x0

     von f
    annähern:

    Dann gilt bx0f(x)dx=limux0buf(x)dx

Man wählt also in beiden Fällen eine benachbarte Stelle u

, berechnet das Integral und führt anschließend den Grenzübergang durch. (Analog, falls die untere Grenze im Unendlichen ist bzw. die obere Grenze die Definitionslücke ist.)

Das berechnete Integral hat dann einen endlichen Wert, wenn der berechnete Grenzwert endlich ist.

Beispielaufgabe:

Berechne die Fläche zwischen der x

-Achse und dem Graphen von f
 auf dem Intervall [a;b]
:

a) f(x)=1x2;[1;)

Lösung:
u11x2dx=[1x]u1=1u(11)=1u+1;limu(1u+1)=1


Der Flächeninhalt der nach rechts unbegrenzten Fläche beträgt also 1 FE.

b) f(x)=1x;(0;1]

Lösung:
1u1xdx=[2x]1u=212u=22u;limu0(22u)=2


Der Flächeninhalt der nach oben unbegrenzten Fläche beträgt also 2 FE.

Arbeitsblätter

Das Integral

Schwierigkeitsgrad: 1

Uneigentliche Integrale

Serie 02


Aufgabe 1

Berechne, falls existent, die folgenden Integrale.

a) 22x2dx

b) 103xdx

c) 0e3xdx

d) 1(e2x1+1)dx

e) 13x+4x3dx



Aufgabe 2

Gegeben sei die Funktion f(x)=12x2 sowie eine Parallele zur y - Achse mit x = 2.

a) Skizziere den gegebenen Sachinhalt.

b) Zeige, dass der Flächeninhalt, der vom Graphen der Parallelen und der y - Achse eingeschlossen wird, nicht existiert.

c) Zeige weiterhin, dass der Flächeninhalt der ins Unendliche reichenden Fläche existiert und bestimme ihn.



Aufgabe 3

Bestimme den Parameter aR so, dass folgende uneigentliche Integrale gegen den gewünschten Wert konvergieren.

a) 2ax3dx=12

b) 1eaxdx=e1;a>0

c) 2a+1x2dx=0

d) 0aexdx=5




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