Grundfläche Pyramide – online lernen

Volumen einer n-eckigen Pyramide

Eine n-eckige Pyramide ist eine Pyramide, die beliebig viele Ecken auf der Grundfläche hat (z. B. Fünfeck, Siebeneck, usw.). Allgemein spricht man von einer n-eckigen Pyramide, um alle Pyramidenformen zusammen zu fassen. Die allgemeine Formel für das Volumen einer Pyramide lautet:

• V = 13 ⋅ G ⋅  h 

wobei G die Grundfläche der Pyramide ist und h ihre Höhe.

Es gibt keine fertige Formel für alle Pyramidenformen. Je nach Grundfläche muss diese gesondert berechnet werden. Bei regelmäßigen Vielecken wird die Grundfläche üblicherweise in eine entsprechende Anzahl von Dreiecken zerlegt (fünf bei einem Fünfeck, acht bei einem Achteck usw.).

Skizze einer fünfeckigen Pyramide:

Beispiel: Eine regelmäßige fünfeckige Pyramide hat die Grundkante a = 5 cm und die Höhe h = 8 cm. Die Höhe eines der Dreiecke der Grundfläche beträgt h_a = 3,6 cm. Berechne das Volumen der Pyramide.

V = 13 ⋅ (5 ⋅ 12 ⋅ a ⋅ h_a) ⋅ h 

   = 13 ⋅ 5 ⋅  12 ⋅ 5 cm ⋅  3,6 cm ⋅  8 cm 

   = 120 cm³

Oberflaeche einer n-eckigen Pyramide

Die Oberfläche Oeiner n-eckigen Pyramide setzt sich aus zwei Flächen zusammen: aus der Grundfläche Gund der Mantelfläche M. Beide werden in der Regel mit Hilfe von Dreiecken berechnet. Die allgemeine Formel lautet: 

• O = G + M 

Mit der Anzahl der Ecken n, der Grundkantenlänge a, der Bodendreieckshöhe h_a und der Seitendreieckshöhe h_s ergibt sich damit die folgende Formel:

• O = n ⋅ 12 ⋅ a ⋅ h_a + n ⋅ 12a ⋅ h_s

Hin und wieder sieht man die Formel auch in dieser Form:

• O = n ⋅ 12 ⋅ a ⋅ (h_a + h_s) 

Skizze einer Fünfeckspyramide:

Beispiel: Eine sechseckige Pyramide hat die Grundkante a = 6 cm, die Grunddreickshöhe ha = 5,2 cm und die Seitendreieckshöhe h_s = 9 cm. Berechne die Oberfläche.

• O = 6 ⋅ 12 ⋅ 6 cm ⋅ (5,2 cm + 9 cm) = 255,6 cm²

Mantelfläche einer n-eckigen Pyramide

Die Mantelfläche einer regelmäßigen n-eckigen Pyramide setzt sich aus n Dreiecken zusammen. Somit ergibt sich die Formel für den Mantel M:

• M = n ⋅ 12 ⋅  a ⋅  h_s

Dabei ist n die Anzahl der Ecken der Grundfläche, a ist die Länge der Grundkante und h_s ist die Höhe einer Seitenfläche.

Skizze einer fünfeckigen Pyramide:

Beispiel: Eine regelmäßige siebeneckige Pyramide hat die Grundkante a = 7 cm und die Höhe der Seitenfläche h_s = 12 cm. Berechne die Mantelfläche.

• M = n ⋅ 12 ⋅  a ⋅  h_s
• M = 7 ⋅ 12 ⋅  7 cm ⋅  12 cm = 294 cm²

Volumen einer quadratischen Pyramide

Das Volumen V einer quadratischen Pyramide wird aus dem Flächeninhalt der Grundfläche G und der Höhe h der Pyramide berechnet. Die Höhe einer Pyramide ist der Abstand der Spitze zur Grundfläche.

Allgemein lautet die Formel:

V=13⋅G⋅h

Im Fall der quadratischen Pyramide gilt G=a2

V=13⋅a2⋅h

Skizze:

Beispielaufgabe:

Eine quadratische Pyramide besitzt die Grundkante a=7cm und die Höhe h=12cm. Wie groß ist ihr Volumen?

Lösung:

V=13⋅(7cm)2⋅(12cm)=196cm3

Oberfläche einer quadratischen Pyramide

Die Oberfläche O einer quadratischen Pyramide setzt sich aus zwei Flächen zusammen:
aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M.

Die allgemeine Formel lautet:

O=G+M

Die Mantelfläche setzt sich aus vier gleich großen gleichschenkligen Dreiecken zusammen. Mit der Dreieckshöhe hs ergibt sich dann:

O=a2+4⋅12⋅a⋅hs=a2+2⋅a⋅hs

Skizze:

Beispielaufgabe:

Eine Pyramide besitzt die Grundkante a=8cm. Die Höhe einer Seitenfläche beträgt hs=13cm. Berechne ihre Oberfläche.

Lösung:

O=(8cm)2+2⋅8cm⋅13cm=272cm2

Mantelfläche einer quadratischen Pyramide

Die Mantelfläche M einer quadratischen Pyramide ist die Fläche der dreieckigen Seitenflächen. Das sind vier gleich große Dreiecke. Da die Berechnung der Mantelfläche eine Berechnung von Dreiecken ist, kann man sie von der Formel für die Berechnung von Flächeninhalten von Dreiecken ableiten. Damit gilt:

M=4⋅12⋅a⋅hs=2⋅a⋅hs

Dabei ist a die Länge der Grundkante und hs die Länge der Höhe eines Dreiecks.

Skizze:

Beispielaufgabe:

Eine Pyramide besitzt die Grundkante a=9cm und die Höhe hs=11cm der Seitenfläche. Berechne die Mantelfläche der Pyramide.

Lösung:

M=2⋅9cm⋅11cm=198cm2