Umfangwinkelsatz – online lernen

Umfangswinkelsatz

Gegeben sind ein Kreis und die Kreissehne s=¯AB, die diesen Kreis in zwei Teile teilt. Zeichnet man an einer beliebigen Stelle auf der Kreislinie einen Punkt C ein und verbindet diese drei Punkte zu einem Dreieck ΔABC, stellt der Kreis den Umkreis dieses Dreiecks dar. Den Winkel am Punkt C bezeichnet man als Umfangswinkel.

Der Umfangswinkelsatz besagt dann, dass alle Umfangswinkel zur selben Kreissehne gleich groß sind, wenn sie auf dem gleichen Abschnitt der Kreislinie zwischen A und B liegen. Das bedeutet:

• Liegt der Punkt C auf dem größeren Teil der Kreislinie (hier also oberhalb der Sehne), hat der Umfangswinkel φ für alle so entstehenden Dreiecke denselben Wert. Es gilt immer φ<90∘.
• Liegt der Punkt C auf dem kleineren Teil der Kreislinie (hier also unterhalb der Sehne), sind auch diese Umfangswinkel φ′ alle gleich groß. Es gilt φ′=180∘−φ>90∘, wobei φ dem Umfangswinkel der Dreiecke auf der anderen Kreisteilseite entspricht. Es gilt somit immer φ+φ′=180∘.
• Geht die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises, sind also beide Kreisteile gleich groß, gilt φ=φ′=90∘ und man hat als Spezialfall des Umfangwinkelsatzes gerade den Satz des Thales.

Der kleinere Umfangswinkel φ∈(0∘;90∘] ist immer halb so groß wie der Mittelpunktswinkel μ des Dreiecks ΔABM, es gilt also

μ=2⋅φ⇔φ=μ2

Für den größeren Umfangswinkel φ′∈[90∘;180∘) gilt

μ=2⋅(180∘−φ′)⇔φ′=180∘−μ2

Der Umfangswinkelsatz kann hilfreich sein, wenn man zum Beispiel fehlende Winkel berechnen will.

Beispiel:

In der rechts abgebildeten Figur sind die Winkel α2=50∘;β1=45∘ und β2=75∘ bekannt.

Berechne damit die fehlenden Winkel α1,γ und δ. 

Lösung:

• Da in einem Dreieck alle Winkel addiert 180∘ betragen, wissen wir:
  δ=180∘−β2−α2=55∘.
• Auf Grund des Umfangwinkelsatzes gilt also auch:
  γ=55∘.
• Durch die Winkelsumme können wir schließlich auch den letzten Winkel bestimmen:
  α1=180∘−β1−γ=80∘.