Umfangwinkelsatz – online lernen

Umfangswinkelsatz

Gegeben sind ein Kreis und die Kreissehne s=AB¯¯¯¯¯¯¯¯$s=\overline{AB}$, die diesen Kreis in zwei Teile teilt. Zeichnet man an einer beliebigen Stelle auf der Kreislinie einen Punkt C$C$ ein und verbindet diese drei Punkte zu einem Dreieck ΔABC$\mathrm{\Delta }ABC$, stellt der Kreis den Umkreis dieses Dreiecks dar. Den Winkel am Punkt C$C$ bezeichnet man als Umfangswinkel.

Der Umfangswinkelsatz besagt dann, dass alle Umfangswinkel zur selben Kreissehne gleich groß sind, wenn sie auf dem gleichen Abschnitt der Kreislinie zwischen A$A$ und B$B$ liegen. Das bedeutet:

• Liegt der Punkt C$C$ auf dem größeren Teil der Kreislinie (hier also oberhalb der Sehne), hat der Umfangswinkel φ$\phi$ für alle so entstehenden Dreiecke denselben Wert. Es gilt immer φ<90∘$\phi <{90}^{\circ }$.
• Liegt der Punkt C$C$ auf dem kleineren Teil der Kreislinie (hier also unterhalb der Sehne), sind auch diese Umfangswinkel φ′${\phi }^{\prime }$ alle gleich groß. Es gilt φ′=180∘−φ>90∘${\phi }^{\prime }={180}^{\circ }-\phi >{90}^{\circ }$, wobei φ$\phi$ dem Umfangswinkel der Dreiecke auf der anderen Kreisteilseite entspricht. Es gilt somit immer φ+φ′=180∘$\phi +{\phi }^{\prime }={180}^{\circ }$.
• Geht die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises, sind also beide Kreisteile gleich groß, gilt φ=φ′=90∘$\phi ={\phi }^{\prime }={90}^{\circ }$ und man hat als Spezialfall des Umfangwinkelsatzes gerade den Satz des Thales.

Der kleinere Umfangswinkel φ∈(0∘;90∘]$\phi \in (0^{\circ };{90}^{\circ }]$ ist immer halb so groß wie der Mittelpunktswinkel μ$\mu$ des Dreiecks ΔABM$\mathrm{\Delta }ABM$, es gilt also

Für den größeren Umfangswinkel φ′∈[90∘;180∘)${\phi }^{\prime }\in [{90}^{\circ };{180}^{\circ })$ gilt

Der Umfangswinkelsatz kann hilfreich sein, wenn man zum Beispiel fehlende Winkel berechnen will.

Beispiel:

In der rechts abgebildeten Figur sind die Winkel α2=50∘;β1=45∘${\alpha }_2={50}^{\circ };{\beta }_1={45}^{\circ }$ und β2=75∘${\beta }_2={75}^{\circ }$ bekannt.

Berechne damit die fehlenden Winkel α1,γ${\alpha }_1,\gamma$ und δ$\delta$. 

Lösung:

• Da in einem Dreieck alle Winkel addiert 180∘${180}^{\circ }$ betragen, wissen wir:
  δ=180∘−β2−α2=55∘$\delta ={180}^{\circ }-{\beta }_2-{\alpha }_2={55}^{\circ }$.
• Auf Grund des Umfangwinkelsatzes gilt also auch:
  γ=55∘$\gamma ={55}^{\circ }$.
• Durch die Winkelsumme können wir schließlich auch den letzten Winkel bestimmen:
  α1=180∘−β1−γ=80∘${\alpha }_1={180}^{\circ }-{\beta }_1-\gamma ={80}^{\circ }$.