Satz des Thales Aufgaben – online lernen

Satz des Thales

Der Satz des Thales besagt:

„Zeichnet man über einer Strecke einen Kreis ein, sodass die Strecke den Durchmesser des Kreises bildet, und verbindet einen beliebigen Punkt auf diesem Kreis mit den Enden dieser Strecke, so ist das dadurch entstehende Dreieck rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt bei dem eingezeichneten Punkt auf dem Kreis, die eingezeichnete Strecke ist die Hypotenuse des Dreiecks.“

Es gilt auch die Umkehrung:

„Wenn man bei einem rechtwinkligen Dreieck einen Kreis um die Hypotenuse als Durchmesser einzeichnet, dann liegt der Punkt beim rechten Winkel auf dem Kreisbogen dieses Kreises.“

---

Beweis des Satzes:

Eingezeichnet ist das Dreieck ABC

mit der Hypotenuse c und einem Thaleskreis um diese Seite, auf dem der Punkt C liegt. Zeichnet man zusätzlich eine Strecke ¯MC ein, teilt diese das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke BMC und AMC mit Schenkeln der Länge r (Radius des Thaleskreises). Da in gleichschenkligen Dreiecken zwei Winkel jeweils gleich groß sind, kommt im linken Dreieck der Winkel α und im rechten Dreieck der Winkel β doppelt vor. Damit lässt sich auch der Winkel γ am Punkt C durch α und β ausdrücken. Es gilt γ=α+β.

Für die Winkelsumme im Dreieck ABC

gilt damit:

α+β+γ=180∘Rightarrowα+β+(α+β)=180∘⇒2⋅(α+β)=180∘⇒α+β=γ=90∘

Damit handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
Da C

beliebig gewählt war, gilt dies somit für alle auf dem Thaleskreis liegenden Dreiecke.