Parameterform in Koordinatenform – online lernen

Ebenen umformen
Parameterform Koordinatenform

Gegeben ist eine Ebene E$E$ in Parameterform x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$.
Zur Umwandlung in die Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=d$n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$ können folgende Schritte durchgeführt werden:

1. Normalenvektor per Kreuzprodukt bestimmen:

n⃗ =u⃗ ×v⃗ $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ 

     2. Normalenform aufstellen, wobei p⃗ $\overrightarrow{p}$ der Stützvektor der Parameterform ist:

(x⃗ −p⃗ )⋅n⃗ =0$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$

     3. Normalenform ausmultiplizieren:

x⃗ ⋅n⃗ −p⃗ ⋅n⃗ =0$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n}-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{n}=0$

⟺n⃗ ⋅x⃗ =n⃗ ⋅p⃗ $⟺\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{p}$

⟺n1x1+n2x2+n3x3=d$⟺n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$

d$d$ entspricht dabei dem Skalarprodukt n⃗ ⋅p⃗ $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{p}$.

Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:x⃗ =⎛⎝⎜2−23⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜120⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜405⎞⎠⎟$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$.

Wandle die Ebene über die Normalenform in die Koordinatenform um.

Lösung:

1. n⃗ =⎛⎝⎜120⎞⎠⎟×⎛⎝⎜405⎞⎠⎟=⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ -8\end{array}\right)$

2. E:⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜2−23⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟=0$E:\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ -8\end{array}\right)=0$

3. ⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜x1x2x3⎞⎠⎟−⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−23⎞⎠⎟=0⇒⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜x1x2x3⎞⎠⎟=⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−23⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ -8\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ -8\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)=0\Rightarrow \left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ -8\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ -8\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Rechnet man beide Skalarprodukte aus, erhält man
10x1−5x2−8x3=10⋅2+(−5)⋅(−2)+(−8)⋅3=6$10x_1-5x_2-8x_3=10\cdot 2+(-5)\cdot (-2)+(-8)\cdot 3=6$

Die Koordinatenform lautet damit
E:10x1−5x2−8x3=6$E:10x_1-5x_2-8x_3=6$

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Koordinatenform Normalenform

Die Normalenform (x⃗ −p⃗ )⋅n⃗ =0$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$ einer Ebene lässt sich schnell und mit relativ wenig Rechenaufwand aus der Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=d$n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$ zusammensetzen.

Für die Normalenform benötigen wir:

1. Einen beliebigen Punkt der Ebene:
   Bestimme einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt.
   Bis zu zwei Koordinaten können dabei beliebig gewählt werden, die letzte verbleibende Koordinate muss dann so berechnet werden, dass die Koordinatengleichung stimmt.

2. Den Normalenvektor:
   Dieser lässt sich aus den Koeffizienten der Koordinatenform ablesen:
   E:n1x1+n2x2+n3x3=d⇒n⃗ =⎛⎝⎜n1n2n3⎞⎠⎟$E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)$

Beispielaufgabe:

Bestimme eine Normalenform der Ebene E:4x1−x2−x3=1$E:4x_1-x_2-x_3=1$.

Lösung:

Wähle x1=x2=0$x_1=x_2=0$, dann muss x3=−1$x_3=-1$ gelten,
damit die Gleichung 4⋅0−0−(−1)=1$4\cdot 0-0-(-1)=1$ erfüllt ist.
Der zugehörige Punkt lautet also P(0∣0∣−1)$P\left(0\mid 0\mid -1\right)$.

Den Normalenvektor kann man aus der Gleichung ablesen:
n⃗ =⎛⎝⎜4−1−1⎞⎠⎟$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Die Normalenform lautet damit
E:⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜00−1⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜4−1−1⎞⎠⎟=0$E:\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)=0$

Ebenen umformen
Koordinatenform Parameterform

Wenn die Gleichung einer Ebene in der Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=d$n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$  gegeben ist, lässt sich diese in die Parameterform x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$ umwandeln. Dazu bestimmt man drei beliebige Punkte A,B$A,B$ und C$C$, welche die Koordinatengleichung erfüllen – also in der Ebenen liegen – und nutzt diese Punkte, um die Parameterform der Ebene aufzustellen.

Beispielaufgabe:

Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E:4x1+3x2−2x3=6$E:4x_1+3x_2-2x_3=6$.

Lösung:

Wähle drei Punkte A(0∣2∣0);B(2∣0∣1);C(0∣0∣−3)$A\left(0\mid 2\mid 0\right);B\left(2\mid 0\mid 1\right);C\left(0\mid 0\mid -3\right)$, die die Koordinatengleichung erfüllen.

Berechne die Verbindungsvektoren AB−→−=⎛⎝⎜2−21⎞⎠⎟$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ und AC−→−=⎛⎝⎜0−2−3⎞⎠⎟$\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ und setze in die Parametergleichung ein:

E:x⃗ =⎛⎝⎜020⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜2−21⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜0−2−3⎞⎠⎟$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -3\end{array}\right)$

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Normalenform→$\to$ Parameterform

Gegeben ist die Normalenform (x⃗ −p⃗ )⋅n⃗ =0$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}=0$ einer Ebene. Um die Parameterform x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$ zu erhalten, benötigt man einen Stützvektor p⃗ $\overrightarrow{p}$, welchen man direkt aus der Normalenform übernehmen kann. Es sind aber noch zwei Spannvektoren u⃗ $\overrightarrow{u}$ und v⃗ $\overrightarrow{v}$ nötig, welche folgende Eigenschaften erfüllen müssen:

1. u⃗ $\overrightarrow{u}$ und v⃗ $\overrightarrow{v}$ sind linear unabhängig, also kein Vielfaches voneinander

u⃗ =k⋅v⃗ ⟹k=0$\overrightarrow{u}=k\cdot \overrightarrow{v}⟹k=0$

2. u⃗ $\overrightarrow{u}$ und v⃗ $\overrightarrow{v}$ sind beide senkrecht zu n⃗ $\overrightarrow{n}$

u⃗ ⋅n⃗ =0$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}=0$ und v⃗ ⋅n⃗ =0$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=0$

Beispielaufgabe:

Bestimme eine Parameterdarstellung der Ebene E=⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜55−1⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜042⎞⎠⎟=0$E=\left(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)=0$.

Lösung:

Lies den Stützvektor ab:  p⃗ =⎛⎝⎜55−1⎞⎠⎟$\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)$.

Bestimmung der Richtungsvektoren u⃗ $\overrightarrow{u}$ und v⃗ $\overrightarrow{v}$:

⎛⎝⎜u1u2u3⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜042⎞⎠⎟=0⇔4u2+2u3=0$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)=0\iff 4u_2+2u_3=0$
⎛⎝⎜v1v2v3⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜042⎞⎠⎟=0⇔4v2+2v3=0$\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)=0\iff 4v_2+2v_3=0$

Allgemein entstehen dabei zwei Gleichungen mit je drei Unbekannten. Da hier n1=0$n_1=0$ gilt, enthalten beide Gleichungen nur zwei Variablen. Man darf je zwei Variablen annähernd frei wählen. Zu beachten ist jedoch, dass u⃗ $\overrightarrow{u}$ und v⃗ $\overrightarrow{v}$ keine Vielfache voneinander sein dürfen und durch das Wählen der Koordinaten nicht der Nullvektor entstehen darf. Allgemein ist es sinnvoll, die Koordinaten möglichst einfach zu wählen, d.h. so viele Koordinaten wie möglich 0 zu setzen sowie möglichst ganze und keine unnötig großen Zahlen entstehen zu lassen.

Wähle u1=1;u2=0⇒0+2u3=0⇔u3=0$u_1=1;u_2=0\Rightarrow 0+2u_3=0\iff u_3=0$
Wähle v1=0;v2=1⇒4+2v3=0⇔v3=−2$v_1=0;v_2=1\Rightarrow 4+2v_3=0\iff v_3=-2$

Die beiden Richtungsvektoren lauten damit also u⃗ =⎛⎝⎜100⎞⎠⎟$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und v⃗ =⎛⎝⎜01−2⎞⎠⎟$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)$,
als Ebenengleichung erhält man E:x⃗ =⎛⎝⎜55−1⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜100⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜01−2⎞⎠⎟$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)$.

Ebenen umformen
Parameterform →$\to$  Koordinatenform

Die Parameterform x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$ lässt sich auch auf dem direkten Weg – also ohne über die Normalenform zu gehen – in die Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=d$n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$ umwandeln. Dazu sparen wir uns das explizite Aufstellen der Normalenform, der Normalenvektor der Ebene wird jedoch auch hierfür benötigt.

Die Schritte zum Aufstellen der Koordinatenform lauten:

1. Normalenvektor per Kreuzprodukt bestimmen:

n⃗ =u⃗ ×v⃗ $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$

     2. Normalenvektor einsetzen und d$d$ berechnen:

n⃗ ⋅x⃗ =n⃗ ⋅p⃗ ⇔n1x1+n2x2+n3x3=d$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{p}\iff n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$

d$d$ entsteht aus dem Skalarprodukt n⃗ ⋅p⃗ $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{p}$ und p⃗ $\overrightarrow{p}$ ist der Stützvektor der Parameterform.

Beispielaufgabe:

Wandle die Ebene E:x⃗ =⎛⎝⎜11−1⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜49−8⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−132⎞⎠⎟$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ in die Koordinatenform um.

Lösung:

Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt bestimmen:

n⃗ =⎛⎝⎜49−8⎞⎠⎟×⎛⎝⎜−132⎞⎠⎟=⎛⎝⎜42021⎞⎠⎟$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42\\ 0\\ 21\end{array}\right)$

Da es beim Normalenvektor einer Ebene nicht auf Länge ankommt, können wir diesen Vektor etwas kürzen. Wir dividieren alle Einträge durch 21 und erhalten:

n⃗ =⎛⎝⎜201⎞⎠⎟$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Stelle damit nun die Koordinatenform n⃗ ⋅x⃗ =n⃗ ⋅p⃗ $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{p}$ auf: