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Ableitungen bestimmen mit Differenzenquotient

Differenzenquotient Ableitung – online lernen

Hier lernst du, wie du die Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten berechnest. Keine Angst, sie sieht komplizierter aus, als sie ist.

Wiki zum Thema: Ableitungen bestimmen mit Differenzenquotient

Ableitung mit Differentialquotient

x-Methode


Eine Alternative zur

h
-Methode ist die
x
-Methode. Das Ziel ist das Gleiche: Eine Funktion, die für jeden
x
-Wert die entsprechende Steigung der Funktion
f
liefert.

Dazu benötigen wir einen Hilfspunkt, der sich entlang der Funktion

f
dem Punkt an der gewünschten Stelle
x0
 annähert. Statt diesen über den Abstand
h
zu
x0
durch
x0+h
 zu definieren, können wir ihn aber auch schlichtweg mit
x
benennen und damit den Differentialquotienten berechnen, indem wir den Grenzwert für 
x→x0
bestimmen.

Wir betrachten die Funktion f(x)=x2+x: 

f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0(x2+x)−(x02+x0)x−x0=limx→x0x2+x−x02−x0x−x0|Ordnen und zusammenfassen=limx→x0(x2−x02)+(x−x0)x−x0|3. binomische Formel=limx→x0(x−x0)⋅(x+x0)+(x−x0)x−x0|Mit Nenner kürzen=limx→x0((x+x0)+1)|Grenzwert bilden=(x0+x0)+1=2x0+1

Es ist typisch, dass man bei der

x
-Methode eine binomische Formel anwenden muss, um in jedem Summanden des Zählers den Nenner als Faktor zu erhalten. Anschließend wird mit dem Nenner gekürzt und wir können ohne Probleme
x
gegen
x0
 laufen lassen.

Die Ableitung lautet: f′(x)=2x+1


Ableitung mit Differentialquotient

h-Methode

Statt den Differentialquotienten für jeden Punkt einer Funktion 

f
 einzeln zu berechnen, können wir ihn für alle Punkte der Funktion allgemein bestimmen. Das Resultat ist eine Funktion, in die wir den geforderten
x
-Wert danach einsetzen können und damit dann die konkrete Steigung in diesem Punkt erhalten. Diese Funktion nennen wir Ableitung (von
f
), oder auch
f′
.

Wir bestimmen nun die Ableitung

f′
 der Funktion 
f(x)=x2+x
:

f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h=limh→0((x0+h)2+(x0+h))−(x02+x0)h=limh→0x02+2x0h+h2+x0+h−x02−x0h=limh→02x0h+h2+hh|h kürzen=limh→0(2x0+h+1)|Grenzwert bestimmen=2x0+0+1=2x0+1
.

Die Ableitung

f′
der Funktion
f
lautet damit
f′(x)=2x+1
.

Arbeitsblätter
Differentialrechnung
Ableitung bestimmen mit Differentialquotienten
Schwierigkeitsgrad 1
Serie 1


Aufgabe 1

Berechne mit Hilfe des Differentialquotienten jeweils die Ableitung

f′(x)
der Funktion
f
.

a)
f(x)=x2
b)
f(x)=x2+3
c)
f(x)=x2+x
d)
f(x)=x2−5
e)
f(x)=3x
f)
f(x)=x2+2x
g)
f(x)=−3x2
h)
f(x)=x3


Aufgabe 2

Berechne für die Funktion

f(x)=(x−2)2+x
zunächst allgemein mit Hilfe des Differentialquotienten die Ableitung
f′(x)
und bestimme danach die Steigungen der Kurve an den jeweiligen Stellen
x0
und die dazugehörigen Tangentengleichungen:

f′(x)=____________________


x0
f′(x0)
f(x0)
Tangente in
x0
a)
0



b)
1



c)
1,5



d)
2



e)
−2



Zeichne die Tangenten außerdem in das nebenstehende Koordinatensystem ein.

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