Differenzenquotient Ableitung – online lernen

Ableitung mit Differentialquotient

x-Methode

Eine Alternative zur h

-Methode ist die x-Methode. Das Ziel ist das Gleiche: Eine Funktion, die für jeden x-Wert die entsprechende Steigung der Funktion f liefert.

Dazu benötigen wir einen Hilfspunkt, der sich entlang der Funktion f

dem Punkt an der gewünschten Stelle x0 annähert. Statt diesen über den Abstand h zu x0 durch x0+h zu definieren, können wir ihn aber auch schlichtweg mit x benennen und damit den Differentialquotienten berechnen, indem wir den Grenzwert für x→x0 bestimmen.

Wir betrachten die Funktion f(x)=x2+x: 

f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0(x2+x)−(x02+x0)x−x0=limx→x0x2+x−x02−x0x−x0|Ordnen und zusammenfassen=limx→x0(x2−x02)+(x−x0)x−x0|3. binomische Formel=limx→x0(x−x0)⋅(x+x0)+(x−x0)x−x0|Mit Nenner kürzen=limx→x0((x+x0)+1)|Grenzwert bilden=(x0+x0)+1=2x0+1

Es ist typisch, dass man bei der x

-Methode eine binomische Formel anwenden muss, um in jedem Summanden des Zählers den Nenner als Faktor zu erhalten. Anschließend wird mit dem Nenner gekürzt und wir können ohne Probleme x gegen x0 laufen lassen.

Die Ableitung lautet: f′(x)=2x+1

Ableitung mit Differentialquotient

h-Methode

Statt den Differentialquotienten für jeden Punkt einer Funktion f

 einzeln zu berechnen, können wir ihn für alle Punkte der Funktion allgemein bestimmen. Das Resultat ist eine Funktion, in die wir den geforderten x-Wert danach einsetzen können und damit dann die konkrete Steigung in diesem Punkt erhalten. Diese Funktion nennen wir Ableitung (von f), oder auch f′.

Wir bestimmen nun die Ableitung f′

 der Funktion f(x)=x2+x:

f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h=limh→0((x0+h)2+(x0+h))−(x02+x0)h=limh→0x02+2x0h+h2+x0+h−x02−x0h=limh→02x0h+h2+hh|h kürzen=limh→0(2x0+h+1)|Grenzwert bestimmen=2x0+0+1=2x0+1

.

Die Ableitung f′

der Funktion f lautet damit f′(x)=2x+1.