Scheitelpunktform – online lernen

Normalparabeln
Form: y=x2+px+q

Die folgende Form von quadratischen Funktionen nennt man Normalform:

y=x2+px+q

Dabei sind

• x2 = Quadratisches Glied
• px = Lineares Glied
• q = Absolutes Glied

Aus dieser Darstellung kann man ablesen, dass es sich um eine Normalparabel handelt (Vorfaktor  a=1) und dass der Schnittpunkt mit der y–Achse die Koordinaten (0∣q) hat.

Typische Aufgabenstellungen sind das Umformen der Normalform in die Scheitelpunktform sowie die Nullstellenberechnung. Diese werden in separaten Wikis erklärt.

Quadratische Funktionen
Form: y=a(x−d)2+e

Eine Parabel der Form

y=a(x−d)2+e

ist eine im Koordinatensystem sowohl in x

Wenn a≠1 gilt, handelt es sich nicht um eine Normalparabel, sondern um eine gestreckte oder gestauchte Parabel. Wenn |a|>1 gilt, also a>1

Zusätzlich können wir an a ablesen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Für a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a<0 ist der Graph an der x

An d können wir ablesen, ob die Parabel nach links oder rechts, also entlang der x

An e können wir schließlich sehen, ob die Parabel nach oben oder unten verschoben ist. Wenn e>0 gilt, ist die Parabel nach oben verschoben, wenn e<0 gilt, nach unten.

Zusätzlich liegt die Parabel in der sogenannten Scheitelpunktform vor. Das bedeutet, dass man an der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen kann. Dieser Punkt lautet dann S(d∣e) .

Beispiel:

Gegeben sind folgende sechs Funktionen y1

y1=110(x−2)2−4

y2=2(x+2)2+1

y3=12(x−1)2+1

y4=−5(x+3)2+4

y5=−16x2−1

y6=−(x−3)2

Umwandlung  Scheitel in Normalform 

Die Normalform der Parabel

y=x2+px+q

kann durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform

y=(x−d)2+e

umgewandelt werden. Umgekehrt kann man durch Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform zur Normalform gelangen.

Beispiel 1:

Bestimme den Scheitelpunkt von y=x2+6x+7.

Lösung:

y=x2+6x+7|Quadratische Ergänzung=x2+6x+(62)2−(62)2+7=(x2+6x+32)−32+7=(x+3)2−9+7=(x+3)2−2

Die Koordinaten des Scheitels lauten also S (−3 |−2).

Beispiel 2:

Bestimme die Normalform der Parabel, die den Scheitelpunkt S (−2 | 5) hat.
(Die Parabel ist weder gestaucht noch gestreckt.)

Lösung:

Die Scheitelform lautet (x−(−2))2+5=(x+2)2+5

Auflösen mit den binomischen Formeln liefert
(x+2)2+5=(x2+4x+4)+5=x2+4x+9

Die Normalform der Parabel lautet also y=x2+4x+9.