Scheitelpunktform – online lernen

Normalparabeln
Form: y=x2+px+q$y=x^2+px+q$

Die folgende Form von quadratischen Funktionen nennt man Normalform:

y=x2+px+q$y=x^2+px+q$

Dabei sind

• x2$x^2$ = Quadratisches Glied
• px$px$ = Lineares Glied
• q$q$ = Absolutes Glied

Aus dieser Darstellung kann man ablesen, dass es sich um eine Normalparabel handelt (Vorfaktor  a=1$a=1$) und dass der Schnittpunkt mit der y–Achse die Koordinaten (0∣q)$\left(0\mid q\right)$ hat.

Typische Aufgabenstellungen sind das Umformen der Normalform in die Scheitelpunktform sowie die Nullstellenberechnung. Diese werden in separaten Wikis erklärt.

Quadratische Funktionen
Form: y=a(x−d)2+e$y=a(x-d{)}^2+e$

Eine Parabel der Form

y=a(x−d)2+e$y=a{(x-d)}^2+e$

ist eine im Koordinatensystem sowohl in

Wenn a≠1$a\ne 1$ gilt, handelt es sich nicht um eine Normalparabel, sondern um eine gestreckte oder gestauchte Parabel. Wenn |a|>1$|a|>1$ gilt, also

Zusätzlich können wir an a$a$ ablesen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Für a>0$a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet, für a<0$a<0$ ist der Graph an der

An d$d$ können wir ablesen, ob die Parabel nach links oder rechts, also entlang der

An e$e$ können wir schließlich sehen, ob die Parabel nach oben oder unten verschoben ist. Wenn e>0$e>0$ gilt, ist die Parabel nach oben verschoben, wenn e<0$e<0$ gilt, nach unten.

Zusätzlich liegt die Parabel in der sogenannten Scheitelpunktform vor. Das bedeutet, dass man an der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen kann. Dieser Punkt lautet dann S(d∣e)$S\left(d\mid e\right)$ .

Beispiel:

Gegeben sind folgende sechs Funktionen

Umwandlung  Scheitel in Normalform 

Die Normalform der Parabel

y=x2+px+q$y=x^2+px+q$

kann durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform

y=(x−d)2+e$y={(x-d)}^2+e$

umgewandelt werden. Umgekehrt kann man durch Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform zur Normalform gelangen.

Beispiel 1:

Bestimme den Scheitelpunkt von y=x2+6x+7$y=x^2+6x+7$.

Lösung:

Die Koordinaten des Scheitels lauten also S (−3 |−2)$S(-3|-2)$.

Beispiel 2:

Bestimme die Normalform der Parabel, die den Scheitelpunkt S (−2 | 5)$S(-2|5)$ hat.
(Die Parabel ist weder gestaucht noch gestreckt.)

Lösung:

Die Scheitelform lautet

Auflösen mit den binomischen Formeln liefert

Die Normalform der Parabel lautet also y=x2+4x+9$y=x^2+4x+9$.