Mengenlehre - Mengen, Teilmengen, Schnittmengen - online lernen

Elemente und Teilmengen

Die Begriffe Elemente und Teilmengen lassen sich am besten an einem Beispiel betrachten:

M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

M ist die Menge der Zahlen von 1 bis einschließlich 10. Sie besteht also aus den zehn Elementen 1, 2, 3… Um Auszudrücken, dass z.B. die 4 ein Element der Menge ist (in ihr also enthalten ist), schreiben wir 4∈M.

Eine Teilmenge T von M ist selbst eine Menge, die aber nur Elemente von M enthalten darf. Sie macht also einen Teil von M aus. Beispiele sind {1,3,5,7,9},{1,2,6,9},{9,5,7}. Auch {4} ist eine Teilmenge, die jedoch nur aus einem Element besteht. {9,10,11} ist keine Teilmenge von M, da 11∉M.

Spricht man von einer echten Teilmenge, so darf T nicht alle Elemente von M enthalten:

Die Operatoren ⊆ und ⊂ sind in dieser Hinsicht vergleichbar mit ≤ (kleiner-gleich) und < (kleiner). Die Leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:

∅⊆M

Man beachte den Unterschied zwischen 4∈M und {4}⊂M. Im ersten Fall sprechen wir von einem Element, im zweiten von einer Teilmenge. Dementsprechend müssen unterschiedliche Operatoren (∈ oder ⊂ bzw. ⊆) verwendet werden.

Beispielaufgabe:

Betrachten wir die Menge A={1,2,3,4}. Wie verhält sich 1 zu A? Wie verhält sich {1} zu A? Gib eine echte Teilmenge an.

Teilmengen

Eine Teilmenge T einer Menge M ist selbst eine Menge, die aber nur Elemente von M enthalten darf. Sie macht also einen Teil von M aus. Wir definieren:

T⊆M⇔∀x∈T:x∈M

Man liest dies wie folgt:

T ist eine Teilmenge von M, genau dann, wenn für jedes Element in T gilt, dass es auch Element von M ist.

Sei M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

Beispiele für Teilmengen sind {1,3,5,7,9},{1,2,6,9},{9,5,7}. Auch {4} ist eine Teilmenge, die jedoch nur aus einem Element besteht. {9,10,11} ist keine Teilmenge von M, da {11∉M}.

Spricht man von einer echten Teilmenge, so darf T nicht alle Elemente von M enthalten:

Die Operatoren ⊆ und ⊂ sind in dieser Hinsicht vergleichbar mit ≤ (kleiner-gleich) und < (kleiner). Die Leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:∅⊆M

Beispielaufgabe:

Wie stehen die folgenden Mengen zueinander?

a) A={1,2,3,4},B={1,5}

b) A={1,11},B={1,3,6,8,9,11}

c) A=R=B

Mengen

Mengen sind Gruppen von Objekten, zB. Zahlen, Wörter, Punkte etc. Die darin enthaltenen Objekte nennen wir Elemente. Mengen enthalten jedes ihrer Elemente genau einmal! Es sind also keine „Duplikate“ enthalten.

Oft definiert man in gewissen Sachzusammenhängen Mengen, deren Elemente gewisse Eigenschaften gemeinsam haben bzw. bestimmte Anforderungen erfüllen.

Die Menge der geraden Zahlen von 1 bis einschließlich 20 lautet:

M={x|x≥1∧x≤20∧xgerade}

={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

={2,4,6,....,20}

Die erste Schreibweise definiert die Menge über ihre Eigenschaften. Die Menge enthält Elemente (x), für die folgende Eigenschaft gilt (senkrechter Strich): Das Element muss größer-gleich 1 und kleiner-gleich 20 und gerade sein. Wie man sieht müssen die Eigenschaften nicht immer als mathematischer Ausdruck formuliert sein. Das Konzept „x ist gerade“ steht eigentlich dafür, dass x durch 2 teilbar ist.

Die zweite Schreibweise zählt explizit alle Elemente auf, eignet sich aber nur bei kleinen Mengen. Unendlich große Mengen (zB natürliche Zahlen) können nicht komplett ausgeschrieben werden.

Die dritte Schreibweise kann verwendet werden, wenn das Bildungsgesetz (hier: gerade Zahlen) aus der Folge der Elemente vor dem „…“ ersichtlich ist. 2,4,6… legt dann fest, dass es mit den Geraden Zahlen weitergeht, bis das nächste Elemente wieder explizit aufgezählt wird. So können auch unendlich große Mengen teilweise aufgezählt werden, zB. Z={...−2,−1,0,1,2,...}

Ist ein Objekt in einer Menge enthalten dann ist es Element der Menge:x∈M. Das Gegenteil lautet dann x∉M.

Die leere Menge enthält keine Elemente: {}=∅

Schnittmengen

Als Schnitt oder Schnittmenge zweier oder mehrerer Mengen bezeichnet man die Menge aller Elemente, die in jeder der betrachteten Mengen vorkommen. Die formale Definition lautet:

A∩B={x∣(x∈A)∧(x∈B)}

Man liest dies wie folgt:

„Der Schnitt der Mengen A und B ist die Menge der Elemente, welche in A enthalten sind (x∈A) und (∧) auch gleichzeitig in B enthalten sind (x∈B).“

Beispielaufgabe:

Wie lauten die Schnittmengen von:

a) A={1,2,3,4};B={1,5}

b) A={x∣x ist gerade};B={1,3,6,8,9,11}

c) A=N;B=R

Lösung:

a) A∩B={1}

b) A∩B={6,8}

c) A∩B=N∩R=N

Bemerkung zu c):
Da die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind (N⊂R), erzeugt der Schnitt wieder genau die Teilmenge der natürlichen Zahlen. Allgemein gilt:

A⊆B⇒A∩B=A

Vereinigungen von Mengen

Unter der Vereinigung zweier Mengen versteht man die Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält:

 A∪B={x∣(x∈A)∨(x∈B)}

Man liest dies wie folgt:

„Die Vereinigung von A und B ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind (x∈A) oder (∨) in B enthalten sind (x∈B).“

Die beiden Mengen werden also zusammengefügt. "oder" bedeutet dabei nicht, dass die Elemente nur in einer der Mengen enthalten sein dürfen (im Sinne von "entweder ... oder"), sondern nur dass sie in mindestens einer der Mengen vorkommen. In der vereinigten Menge A∪B dürfen mehrfach vorkommende Elemente jedoch nur einmal angegeben werden.

Beispielaufgabe:

Wie lauten die Vereinigungen von:

a) A={1,2,3,4};B={1,5}

b) A={1,11};B={1,3,6,8,9,11}

c) A=R=B

d) A={x∣x ist gerade};B={1,3,9,11}

Lösung:

a) A∪B={1,2,3,4,5}
Die 1 kommt in beiden Mengen vor, wird aber bei der Vereinigung nur einmal verwendet, da in Mengen keine „Duplikate“ vorkommen dürfen. Die restlichen Zahlen kommen in genau einer der beiden Mengen vor.

b) A∪B={1,3,6,8,9,11}
Hier ist A eine Teilmenge von B, es gilt also A∪B=B.

c) A∪B=R
Sind die beiden Mengen bereits identisch (A=B), dann gilt A∪B=A=B, da durch die Vereinigung nichts Neues hinzukommen kann.

d) A∪B={...,−4,−2,0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,14,16...}
Kompakter oder „genauer“ kann man diese Menge nicht beschreiben.

Kardinalität einer Menge

Als Kardinalität oder auch Mächtigkeit einer Menge bezeichnet man den Wert, welcher angibt, wie viele Elemente sie enthält. Man sagt auch, wie mächtig die Menge ist. Dieser Wert ist für alle endlichen Mengen eine natürliche Zahl. Für unendliche Mengen ist der Kardinalitätsbegriff etwas schwieriger zu erfassen, was hier nicht thematisiert werden soll.

Die Kardinalität einer Menge spielt immer dann eine Rolle, wenn eben die Anzahl an Elementen der Menge wichtig wird. Betrachtet man beispielsweise einen Ergebnisraum und möchte Wahrscheinlichkeiten erfassen, so wird die Kardinalität des Raumes wichtig.

Für die Kardinalität einer Menge A mit n Elementen schreibt man:

|A|=n oder #A=n

Entsprechend gilt für eine Menge mit z.B. 3 Elementen dann

|A|=3 oder #A=3

Beispielaufgabe:

Wie mächtig sind die folgenden Mengen?

a)  A={Kreuz, Pik, Herz, Karo}

b)  B={1,5,100}

c)  C={a,b,c,d,...,x,y,z}

Lösung:

a) |A|=4 (Menge der Spielkartenfarben)

b) |B|=3

c) |C|=26 (Menge der Buchstaben)

Differenzen von Mengen

Auch auf Mengen kann man eine Differenz oder Subtraktion definieren. Diese zieht alle Elemente einer Menge von denen einer anderen Menge ab. Man schreibt dafür A∖B (sprich: „A ohne B“).

Diese Differenz ist folgendermaßen definiert:

A∖B={x∣(x∈A)∧(x∉B)}

Ein Element liegt also in der Differenzmenge, wenn es in A enthalten ist (x∈A) und (∧) nicht in B liegt (x∉B). Aus A werden also alle Elemente entnommen, die in der Schnittmenge A∩B liegen, d.h. die in beiden Mengen vorkommen. Die Elemente, die nur in B und nicht in A liegen, kann man deshalb vernachlässigen.

Einige besondere Fälle können auftreten:

1. Ist B eine echte Teilmenge von A, gilt also B⊂A, so werden die Elemente von B einfach aus A entfernt. In diesem Fall nennt man A∖B auch das Komplement von B in Bezug auf A.
2. Ist B=A, so bleibt nur die leere Menge übrig.
   Ähnlich wie bei Zahlen, wo x∈R⇒x−x=0 gilt, sagen wir bei Mengen:
   X ist Menge ⇒X∖X={x∣(x∈X)∩(x∉X)}={}=∅.
3. Ist B disjunkt (getrennt) zu A, gilt also A∩B=∅, so ändert sich durch die Mengensubtraktion nichts.
   Es gilt dann A∖B=A.

Beispielaufgabe:

Wie lauten die Differenzen A∖B von:

a) A={1,2,3};B={1,2}

b) A={7,9,19};B={1,2,3}

c) A=N=B

d) A={1,3,5,8};B={2,3,6,8}

Lösung:

a) A∖B={3}, hier gilt Fall 1.

b) A∖B={7,9,19}=A, hier gilt Fall 3.

c) A∖B=∅, hier gilt Fall 2.

d) A∖B={1,5}, da hier A∩B={3,8} gilt.