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Satz des Pythagoras Anwendung – online lernen

Was du mit dem Satz des Pythagoras alles im Alltag berechnen kannst und wofür er wichtig ist, das erfährst du hier.

Wiki zum Thema: Anwendung

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse

c

gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten

a

und

b

ist (siehe Skizze rechts). Die Quadrate über den Katheten sind dabei blau, das Quadrat über der Hypotenuse rot markiert.

Dabei gilt die Formel $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Der Satz des Pythagoras wird in der Regel benutzt, um Streckenlängen in rechtwinkligen Dreiecken auszurechnen, da man so aus zwei bekannten Längen die fehlende dritte Länge berechnen kann.

Beweis des Satzes:

Gegeben ist ein rechwinkliges Dreieck mit den Katheten

a

und

b

sowie der Hypotenuse

c

Setze vier dieser Dreiecke wie in der Abbildung rechts zu sehen so zusammen, dass ein Quadrat der Seitenlänge

a + b

entsteht. Dieses beinhaltet dann ein Quadrat der Seitenlänge

c

. Will man nun den Flächeninhalt des inneren Quadrats berechnen, kann man das machen, indem man von dem großen Quadrat die Flächeninhalte der vier Dreiecke subtrahiert.

Mit

A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} a b

erhält man dann

\begin{aligned} c^{2} & = (a + b)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} a b \\ = (a + b)^{2} - 2 a b & | 1. Binomische Formel anwenden \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a b \\ = a^{2} + b^{2} \end{aligned}

Das entspricht genau der obenstehenden Formel.

Beispielaufgabe:

Ein rechtwinkliges Dreieck mit

γ = 90^{\circ}

hat die Seitenlängen

a = 6 c m

und

c = 10 c m

.
Wie lang ist die Kathete

b

\begin{aligned} Lösung: a^{2} + b^{2} & = c^{2} & | - a^{2} \\ b^{2} & = c^{2} - a^{2} \\ b^{2} & = (10 c m)^{2} - (6 c m)^{2} \\ b^{2} & = 100 c m^{2} - 36 c m^{2} \\ b^{2} & = 64 c m^{2} & | \sqrt{} \\ b & = 8 c m \end{aligned}

Arbeitsblätter

Anwendung 03_1
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 12437
Mathematik 9 Satz des Pythagoras Anwendung
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 10714
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6798
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 652
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 12438
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 10715
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6799
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 653
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 12439
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 10716
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 654
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6800

Satz des Pythagoras

Anwendung

Schwierigkeitsgrad 1
Serie 3

Aufgabe 1

Die Orte

A

B

und

C

bilden ein Dreieck mit den Entfernungen

| A B | = 20 km, | A C | = 35 km

und

| B C | = 50 km

Skizziere das Dreieck und überprüfe mit dem Satz des Pythagoras, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.

Aufgabe 2

Gegeben ist jeweils die Kantenlänge

a

eines Quadrats. Berechne damit die Länge der Diagonalen

d

. Runde auf zwei Nachkommastellen.

a)	$a = 52 cm$	b)	$a = 12 cm$	c)	$a = 35 cm$
d)	$a = 2, 5 dm$	e)	$a = 8 m$	f)	$a = 0, 9 km$
g)	$a = 20 cm$	h)	$a = 70 m$	i)	$a = 100 cm$

Aufgabe 3

Vervollständige die Tabelle für ein Rechteck mit den Seiten

a

und

b

, der Diagonalen

d

und dem Flächeninhalt

A

	$a$	$b$	$d$	$A$
a)	$3, 8 cm$	$2, 8 cm$
b)		$0, 25 m$	$36 cm$
c)	$1, 5 dm$			$240 {cm}^{2}$
d)		$125 m$	$0, 4 km$

Aufgabe 4

Ein Blumenbeet, das die Form eines rechtwinkligen Dreiecks hat, soll bepflanzt werden. Die längste Seite ist

10, 5 m

lang, eine andere Seite hat eine Länge von

4, 5 m

Berechne die fehlende Seitenlänge. Runde auf die zweite Nachkommastelle.

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