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Satz des Pythagoras Anwendung – online lernen

Was du mit dem Satz des Pythagoras alles im Alltag berechnen kannst und wofür er wichtig ist, das erfährst du hier.

Wiki zum Thema: Anwendung

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse

c

gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten

a

und

b

ist (siehe Skizze rechts). Die Quadrate über den Katheten sind dabei blau, das Quadrat über der Hypotenuse rot markiert.

Dabei gilt die Formel $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Der Satz des Pythagoras wird in der Regel benutzt, um Streckenlängen in rechtwinkligen Dreiecken auszurechnen, da man so aus zwei bekannten Längen die fehlende dritte Länge berechnen kann.

Beweis des Satzes:

Gegeben ist ein rechwinkliges Dreieck mit den Katheten

a

und

b

sowie der Hypotenuse

c

Setze vier dieser Dreiecke wie in der Abbildung rechts zu sehen so zusammen, dass ein Quadrat der Seitenlänge

a + b

entsteht. Dieses beinhaltet dann ein Quadrat der Seitenlänge

c

. Will man nun den Flächeninhalt des inneren Quadrats berechnen, kann man das machen, indem man von dem großen Quadrat die Flächeninhalte der vier Dreiecke subtrahiert.

Mit

A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} a b

erhält man dann

\begin{aligned} c^{2} & = (a + b)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} a b \\ = (a + b)^{2} - 2 a b & | 1. Binomische Formel anwenden \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a b \\ = a^{2} + b^{2} \end{aligned}

Das entspricht genau der obenstehenden Formel.

Beispielaufgabe:

Ein rechtwinkliges Dreieck mit

γ = 90^{\circ}

hat die Seitenlängen

a = 6 c m

und

c = 10 c m

.
Wie lang ist die Kathete

b

\begin{aligned} Lösung: a^{2} + b^{2} & = c^{2} & | - a^{2} \\ b^{2} & = c^{2} - a^{2} \\ b^{2} & = (10 c m)^{2} - (6 c m)^{2} \\ b^{2} & = 100 c m^{2} - 36 c m^{2} \\ b^{2} & = 64 c m^{2} & | \sqrt{} \\ b & = 8 c m \end{aligned}

Arbeitsblätter

Satz des Pythagoras Anwendung S2
Arbeitsblatt-Nr. 10715
Satz des Pythagoras Anwendung S2
Arbeitsblatt-Nr. 10715
Arbeitsblatt-Nr. 10716
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 12437
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 10714
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6798
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 652
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 12438
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6799
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 653
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 12439
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 654
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6800

Satz des Pythagoras

Anwendungen

Schwierigkeitsgrad 2 / Serie 03

Aufgabe 1

In dem Disneyfilm „Rapunzel neu verföhnt“ sieht Flynn Rider bereits aus relativ weiter Entfernung Rapunzels Turm. Von seiner jetzigen Position kann er auch das einzige Fenster zum Turm sehen, er schätzt, dass die Distanz zwischen ihm und dem Fenster 40 m ist. Die Distanz zwischen sich und dem Fundament des Turms schätzt er auf 30 m.

a) Zeichne eine Skizze!

b) Wie hoch muss Flynn Rider den Turm klettern, um zum Fenster zu gelangen?

Aufgabe 2

Eine Stehleiter ist aufgestellt 2 m Breit und 2 m hoch. Alle 10 cm findet sich eine Stufe.

a) Zeichne eine Skizze!

b) Wie viele Stufen hat die Leiter auf beiden Seiten?

Aufgabe 3

Im Rhein wurde ein neues „Bermuda-Dreieck“ gefunden. Alle Schiffe, welche durch dieses Dreieck fahren verschwinden spurlos…Es hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Berechnungen ergaben, dass der Flächeninhalt 200 $m^{2}$ beträgt. Die Länge einer Kathete ist bekannt und beträgt 10 m.

a) Zeichne eine Skizze.

b) Am Rande des Dreiecks soll ein Draht platziert werden, damit keine Boote mehr verschwinden. Wie lang muss dieser Draht sein?

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