Kurvendiskussion Aufgaben – online lernen
Eine Kurvendiskussion ist eine Aufgabe, bei der eine Funktion komplett untersucht wird. Hier wirst du alles, was du bisher zu Funktionen gelernt hast, brauchen.
Komplette Kurvendiskussion
Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören die folgenden sieben Punkte:
- Ableitungen:
Bestimmung von f′,f″und f‴‘ - Symmetrie:
Untersuchung auf einfache Symmetrie - Achsenschnittpunkte:
Nullstellen und Schnittpunkt mit der y–Achse - Globalverhalten:
Verhalten für |x|→∞ - Extrempunkte:
Hoch- und Tiefpunkte - Wendepunkte
- Schaubild:
Zeichnung bzw. Skizze des Graphen
Beispiel:
Untersuche f mit f(x)=2x4+7x3+5x2 vollständig.
- f′(x)=8x3+21x2+10x
- f″(x)=24x2+42x+10
- f‴(x)=48x+42
- f′(x)=8x3+21x2+10x
- fhat gerade und ungerade Exponenten ⇒keine einfache Symmetrie
- 0=2x4+7x3+5x2=x2(2x2+7x+5)⇒x1=0;x2=−1;x3=−2,5
(x2ausklammern, dann PQ-Formel anwenden) - an=a4=2>0;n=4⇒f(x)→∞für x→±∞.
- f′(x)=0⇒x4=0;x5=−58;x6=−2
f″(0)=10>0⇒Min.; f″(−58)=−6,875<0⇒Max.; f″(−2)=22>0⇒Min.
x4,x6sind Minima, x5ist Maximum. y-Werte durch Einsetzen in f(x):
Tiefpunkte T1 (0 | 0);T2 (−2 |−4);Hochpunkt H (−58 | 11252048) - f″(x)=0⇒x7;8=−78±124√201;x7≈−0,28;x8≈−1,47f‴(x7)≈28,56≠0;f‴(x8)≈−28,56≠0⇒x7,x8sind Wendestellen.
y-Werte: f(x7)≈0,25;f(x8)≈−2,07
Wendepunkte W1 (−0,28 | 0,25),W2(−1,47 |−2,07) - Schaubild:
Komplette Kurvendiskussion
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 907
komplette Kurvendiskussion
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6942
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 908
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6943
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6944
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 909
Funktionsuntersuchung
Kurvendiskussion
Schwierigkeitsgrad 1 / Serie 01
Aufgabe 1
Bestimme den Wertebereich (auch Bildbereich genannt) der Funktionen.
a) | f(x) = x4+ 12x2 + 1 | b) | f(x) = -x3 + 4x2 – 2x |
c) | f(x) = -5x2 – 12 | d) | f(x) = x4+ 2 |
e) | f(x) = x3 – 4x2 + 10 | f) | f(x) = x5– 3x4+ 4x2 + 2 |
Wieso gilt hier immer 𝔻 = ℝ?
Aufgabe 2
Bestimme nur anhand der Exponenten, wie sich die Funktionen im unendlichen Verhalten.
a) -2x3 + 1x2 – 3x + 4
b) 5x5+ 2x4 – 1x3 + 2x
c) 4x4 – 1x2 – 3x + 1
Aufgabe 3
Entscheide durch Betrachtung, ob die Funktionen Nullstellen haben und rechne anschließend nach.
a) | f(x) = 2x4+ 2x2 + 2 | b) | f(x) = x2 – 4x + 10 |
c) | f(x) = 0,2(x2 - 1)(x2 - 4) | d) | f(x) = –x3 + 3x2 – 7x |
e) | f(x) = (x - 1)3 | f) | f(x) = 3x2 + 0,25x + 1 |
Aufgabe 4
Ermittle die Extremstellen und bestimme, ob sie Maximum oder Minimum sind.
Gib die Punkte an!
a) | f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 | b) | f(x) = x3 – 3x + 1 |
c) | f(x) = –x4 + 8x2 – 12 | d) | f(x) = 2x4– 4x2 + 1 |
Aufgabe 5
Bestimme die Wendepunkte.
a) | f(x) = x3 + 6x2 + 2x –1 | b) | f(x) = x4– 6x2 + 6x – 1 |
Aufgabe 6
Führe eine Kurvendiskussion durch: Bestimme das Grenzwertverhalten, den Definitions– und Bildbereich, die Nullstellen, die Extremwerte und den Wendepunkt.
a) | f(x) = –(x2 + 2x + 1) (x – 2) |
