Satz des Pythagoras Aufgaben – online lernen

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse \[c\] gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten \[a\] und \[b\] ist (siehe Skizze rechts). Die Quadrate über den Katheten sind dabei blau, das Quadrat über der Hypotenuse rot markiert.

Dabei gilt die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\).

Der Satz des Pythagoras wird in der Regel benutzt, um Streckenlängen in rechtwinkligen Dreiecken auszurechnen, da man so aus zwei bekannten Längen die fehlende dritte Länge berechnen kann.

Beweis des Satzes:

Gegeben ist ein rechwinkliges Dreieck mit den Katheten \[a\] und \[b\] sowie der Hypotenuse \[c\].

Setze vier dieser Dreiecke wie in der Abbildung rechts zu sehen so zusammen, dass ein Quadrat der Seitenlänge \[a+b\] entsteht. Dieses beinhaltet dann ein Quadrat der Seitenlänge \[c\]. Will man nun den Flächeninhalt des inneren Quadrats berechnen, kann man das machen, indem man von dem großen Quadrat die Flächeninhalte der vier Dreiecke subtrahiert.

Mit \[A_{Dreieck}=\tfrac{1}{2}ab\] erhält man dann

\[\begin{align}c^2&=(a+b)^2-4\cdot \tfrac{1}{2}ab\\&=(a+b)^2-2ab&&|\text{1. Binomische Formel anwenden}\\&=a^2+2ab+b^2-2ab\\&=a^2+b^2\end{align}\]

Das entspricht genau der obenstehenden Formel.

Beispielaufgabe:

Ein rechtwinkliges Dreieck mit \[\gamma=90^{\circ}\] hat die Seitenlängen \[a=6\,cm\] und \[c=10\,cm\].
Wie lang ist die Kathete \[b\]?

\[\begin{align}\text{Lösung:}\;a^2+b^2&=c^2&&|\,-a^2\\ b^2&=c^2-a^2\\ b^2&=(10\,cm)^2-(6\,cm)^2\\ b^2&=100\,cm^2-36\,cm^2\\ b^2&=64\,cm^2&&|\,\sqrt\ \\ b&=8\,cm\end{align}\]