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Parameterform

Parameterform Ebene – online lernen

Die Parameterform ist eine von drei Möglichkeiten, eine Ebenengleichung aufzustellen. Du wirst dich vielleicht an die linearen Funktionen erinnern. Die Parameterform sieht ähnlich aus, beschreibt aber diesmal eine Ebene und keine Gerade.

Wiki zum Thema: Parameterform

Ebenen

Parameterform


Eine Ebene E im Raum lässt sich durch einen Stützvektor →p und zwei Spannvektoren →u und →v beschreiben:

E:→x=→p+r⋅→u+s⋅→vr,s∈R

→p zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt (Aufpunkt, Aufsatzpunkt, Stützpunkt) der Ebenen.
Die Spannvektoren →u und →v legen von dort an den Verlauf der Ebene fest. Man sagt auch, sie spannen die Ebene auf.

Skizze:

Sind drei verschiedene Punkte  A, B und C gegeben, die nicht auf einer Gerade liegen, so kann man durch sie eindeutig eine Ebene festlegen:

E:→x=→(OA)+r⋅→AB+s⋅→AC


Beispielaufgabe:

Bestimme zwei unterschiedliche Parametergleichungen einer Ebene, die durch
A(1∣2∣3), B(−2∣0∣3) und C(10∣10∣9) festgelegt ist.


Lösung:

Es sind beispielsweise möglich:

E:→x=→OA+r⋅→AB+s⋅→AC=(123)+r⋅(−3−20)+s⋅(986)

oder

E:→x=→OB+r⋅→BA+s⋅→BC=(−203)+r⋅(320)+s⋅(12106)

Arbeitsblätter

Ebenen

Schwierigkeitsgrad: 1

Parameterform

Serie 02


Aufgabe 1

Liegen die folgenden Punkte auf der Ebene \[\small E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\2\\1\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} 1\\0\\1  \end{pmatrix}+ \mathrm{s} \begin{pmatrix} 0\\1\\2  \end{pmatrix}\]?

\[\small A\,(5\,|\,2\,|\,3)\] ; \[\small B\,(4\,|\,5\,|\,8)\] ; \[\small C\,(0\,|\,5\,|\,1)\] ; \[\small D\,(-2\,|\,-2\,|\,-2)\] ; \[\small E\,(5\,|\,3\,|\,4)\] ; \[\small F\,(-3\,|\,-1\,|\,-11)\]



Aufgabe 2

Bestimme die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.

a)
\[\small E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\2\\1\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} 1\\0\\1  \end{pmatrix}+ \mathrm{s} \begin{pmatrix} 0\\1\\2  \end{pmatrix}\]b)
\[\small E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\-2\\1\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} 1\\1\\1  \end{pmatrix}+ \mathrm{s} \begin{pmatrix} 2\\0\\1  \end{pmatrix}\]
c)
\[\small E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4\\0\\1\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} 1\\0\\3  \end{pmatrix}+ \mathrm{s} \begin{pmatrix} 0\\1\\-2  \end{pmatrix}\]d)
\[\small E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\2\\0\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} -1\\0\\1  \end{pmatrix}+ \mathrm{s} \begin{pmatrix} 0\\1\\-2  \end{pmatrix}\]


Aufgabe 3

Bestimme die Ebene in Parameterform welche durch die Gerade \[g\] und den Punkt \[\small P\] verläuft!

a)
\[\small g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\-2\\4\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} 1\\0\\1  \end{pmatrix}\]; \[\small P\,(5\,|\,4\,|\,3)\]
b)
\[\small g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\-8\\0\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} 1\\0\\1  \end{pmatrix}\]; \[\small P\,(2\,|\,4\,|\,1)\]
c)
\[\small g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\-1\\1\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} 1\\1\\1  \end{pmatrix}\]
; \[\small P\,(-1\,|\,-2\,|\,-3)\]d)
\[\small g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2\\1\\-1\end{pmatrix} + \mathrm{r} \begin{pmatrix} 5\\5\\1  \end{pmatrix}\]; \[\small P\,(-3\,|\,2\,|\,5)\]




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