Ableitungsregeln vermischt Qualifikationsphase – online lernen

Abiturprüfung

Produktregel

Funktionen, die aus einem Produkt bestehen, dürfen nicht gliedweise abgeleitet werden – hier benötigt man die Produktregel. Diese besagt:

Ist f(x)=u(x)⋅v(x)$f(x)=u(x)\cdot v(x)$, dann gilt für die Ableitung
f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$

Merkregel: 

Schreibt man die Teilfunktionen und ihre Ableitungen untereinander, werden sie folgendermaßen „über Kreuz“ miteinander verknüpft:

Beweis:

Sei f(x)=u(x)⋅v(x)$f(x)=u(x)\cdot v(x)$ gegeben. Wir bilden mit dem bekannten Differentialquotienten die Ableitung und versuchen, einen Ausdruck zu erhalten, den wir kennen. Dazu addieren wir im Zähler einen sogenannten Nullterm (pink markiert), also einen Ausdruck, bei dem der gleiche Term addiert und wieder subtrahiert wird, sodass sich der Wert des eigentlichen Terms nicht verändert. Diesen benutzen wir dann, um durch Umordnen und Ausklammern den gesamten Grenzwert in zwei einzelne Grenzwerte aufteilen zu können. Dadurch erhalten wir letztendlich die bekannte Produktregel.

Beispielaufgabe:
Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

Lösung:

• Teile
  f(x)$$f(x)$$
  auf in
  u(x)=x$$u(x)=x$$
  und
  v(x)=(x2+x)$$v(x)=(x^2+x)$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=1$$u^{\prime }(x)=1$$
  und
  v′(x)=2x+1$$v^{\prime }(x)=2x+1$$
  .
  Damit erhält man
  f′(x)=1⋅(x2+x)+x⋅(2x+1)=x2+x+2x2+x=3x2+2x$$f^{\prime }(x)=1\cdot (x^2+x)+x\cdot (2x+1)=x^2+x+2x^2+x=3x^2+2x$$
  .
• Teile
  g(x)$$g(x)$$
  auf in
  u(x)=x$$u(x)=x$$
  und
  v(x)=ex$$v(x)=e^x$$
  .
  Bestimme damit 
  u′(x)=1$$u^{\prime }(x)=1$$
  und
  v′(x)=ex$$v^{\prime }(x)=e^x$$
  .
  Damit erhält man
  g′(x)=1⋅ex+x⋅ex=ex(1+x)$$g^{\prime }(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x)$$
• Teile
  h(x)$$h(x)$$
  auf in
  u(x)=x2$$u(x)=x^2$$
  und
  v(x)=sin(x)$$v(x)=\sin (x)$$
  .
  Bestimme damit 
  u′(x)=2x$$u^{\prime }(x)=2x$$
  und
  v′(x)=cos(x)$$v^{\prime }(x)=\cos (x)$$
  .
  Damit erhält man
  h′(x)=2x⋅sin(x)+x2⋅cos(x)$$h^{\prime }(x)=2x\cdot \sin (x)+x^2\cdot \cos (x)$$
  .
• Teile
  k(x)$$k(x)$$
  auf in
  u(x)=x+1−−−−−√=(x+1)12$$u(x)=\sqrt{x+1}=(x+1{)}^{\frac{1}{2}}$$
  und
  v(x)=x−1$$v(x)=x^{-1}$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=12(x+1)−12$$u^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(x+1{)}^{-\frac{1}{2}}$$
  und
  v′(x)=−x−2$$v^{\prime }(x)=-x^{-2}$$
  .
  Damit erhält man
  k′(x)=12(x+1)−12⋅x−1+x+1−−−−−√⋅(−x−2)=12xx+1−−−−−√−x+1−−−−−√x2$$k^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot x^{-1}+\sqrt{x+1}\cdot \left(-x^{-2}\right)=\frac{1}{2x\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}$$
  .
  
  

Abiturprüfung

Kettenregel

Verkettungen von Funktionen werden nach der Kettenregel abgeleitet.

Ist f$f$ also eine verkettete Funktion f(x)=u(v(x))$f(x)=u(v(x))$, dann gilt
f′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$

Merkregel: außen ableiten; innen stehen lassen; mit der inneren Ableitung multiplizieren.

Beweis:

Wir berechnen die Ableitung mit dem bekannten Differentialquotienten. Dabei erweitern wir den Ausdruck mit dem lila markierten Term, um durch Umordnen den gesamten Grenzwert in zwei einzelne Grenzwerten aufteilen zu können. Diese entsprechen dann den uns bekannten Differentialquotienten. 

Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=(3x+1)9;g(x)=1−x−−−−−√;h(x)=sin(3x2);k(x)=e3x2−2x$f(x)=(3x+1{)}^9;g(x)=\sqrt{1-x};h(x)=\sin (3x^2);k(x)=e^{3x^2-2x}$

Lösung:

• Teile
  f(x)$$f(x)$$
  auf in
  u(x)=x9$$u(x)=x^9$$
  und
  v(x)=3x+1$$v(x)=3x+1$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=9x8$$u^{\prime }(x)=9x^8$$
  und
  v′(x)=3$$v^{\prime }(x)=3$$
  .
  Also erhält man
  f′(x)=9⋅(3x+1)8⋅3=27⋅(3x+1)8$$f^{\prime }(x)=9\cdot (3x+1{)}^8\cdot 3=27\cdot (3x+1{)}^8$$
  .
• Teile
  g(x)$$g(x)$$
  auf in
  u(x)=x−−√$$u(x)=\sqrt{x}$$
  und
  v(x)=1−x$$v(x)=1-x$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=12x−−√$$u^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
  und
  v′(x)=−1$$v^{\prime }(x)=-1$$
  .
  Also erhält man
  g′(x)=121−x−−−−−√⋅(−1)=−121−x−−−−−√$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot (-1)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$
  .
• Teile
  h(x)$$h(x)$$
  auf in
  u(x)=sin(x)$$u(x)=\sin (x)$$
  und
  v(x)=3x2$$v(x)=3x^2$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=cos(x)$$u^{\prime }(x)=\cos (x)$$
  und
  v′(x)=6x$$v^{\prime }(x)=6x$$
  .
  Also erhält man
  f′(x)=cos(3x2)⋅6x$$f^{\prime }(x)=\cos (3x^2)\cdot 6x$$
  .
• Teile
  k(x)$$k(x)$$
  auf in
  u(x)=ex$$u(x)=e^x$$
  und
  v(x)=3x2−2x$$v(x)=3x^2-2x$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=ex$$u^{\prime }(x)=e^x$$
  und
  v′(x)=6x−2$$v^{\prime }(x)=6x-2$$
  .
  Also erhält man
  f′(x)=e3x2−2x⋅(6x−2)$$f^{\prime }(x)=e^{3x^2-2x}\cdot (6x-2)$$
  .

Ableitung

Quotientenregel

Besteht eine Funktion aus einem Quotienten zweier Funktionen, so bildet sich die Ableitung mittels der Quotientenregel:

Schreibt man die Teilfunktionen und ihre Ableitungen untereinander, werden sie im Zähler folgendermaßen „über Kreuz“ miteinander verknüpft:

Beweis:

Wir benutzen die Ketten- und Produktregel.

Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

Lösung:

• Teile
  f(x)$$f(x)$$
  auf in
  u(x)=x$$u(x)=x$$
  und
  v(x)=x2+1$$v(x)=x^2+1$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=1$$u^{\prime }(x)=1$$
  und
  v′(x)=2x$$v^{\prime }(x)=2x$$
  .
  Damit erhält man
  f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=x2+1−2x2(x2+1)2=1−x2(x2+1)2$$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$$
  .
• Teile
  g(x)$$g(x)$$
  auf in
  u(x)=sin(x)$$u(x)=\sin (x)$$
  und
  v(x)=x$$v(x)=x$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=cos(x)$$u^{\prime }(x)=\cos (x)$$
  und
  v′(x)=1$$v^{\prime }(x)=1$$
  .
  Damit erhält man
  g′(x)=cos(x)⋅x−sin(x)⋅1x2=xcos(x)−sin(x)x2$$g^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\cdot x-\sin (x)\cdot 1}{x^2}=\frac{x\cos (x)-\sin (x)}{x^2}$$
  .
• Teile
  h(x)$$h(x)$$
  auf in
  u(x)=x−−√$$u(x)=\sqrt{x}$$
  und
  v(x)=1−x$$v(x)=1-x$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=12x−−√$$u^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
  und
  v′(x)=−1$$v^{\prime }(x)=-1$$
  .
  Damit erhält man
  h′(x)=12x√⋅(1−x)−x−−√⋅(−1)(1−x)2=1−x2x√+x−−√(1−x)2=1−x+2x2x√(1−x)2=1+x2x−−√(1−x)2$$h^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (1-x)-\sqrt{x}\cdot (-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{\frac{1-x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{(1-x{)}^2}=\frac{\frac{1-x+2x}{2\sqrt{x}}}{(1-x{)}^2}=\frac{1+x}{2\sqrt{x}(1-x{)}^2}$$
  .
• Teile
  k(x)$$k(x)$$
  auf in
  u(x)=ex$$u(x)=e^x$$
  und
  v(x)=x2$$v(x)=x^2$$
  .
  Bestimme damit
  u′(x)=ex$$u^{\prime }(x)=e^x$$
  und
  v′(x)=2x$$v^{\prime }(x)=2x$$
  .
  Damit erhält man
  k′(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4=xex(x−2)x4=ex⋅x−2x3$$k^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\frac{x{e}^x(x-2)}{x^4}=e^x\cdot \frac{x-2}{x^3}$$
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