Kettenregel

Die Kettenregel ist eine wichtige Ableitungsregel, die du immer dann brauchst, wenn du auf verkettete Funktionen stößt. Diese kannst du nämlich nicht in einem Schritt ableiten, sondern du musst sie in ihre Teilfunktionen unterteilen, dann einzeln ableiten und schließlich mit der Kettenregel die Ableitung der gesamten Funktion bilden.

Was hat mit diesen verketteten Funktionen auf sich? Das lässt sich am besten an ein paar Beispielen erkennen. Nimm folgende Funktion:

f(x)=(x2+4)3

In dieser Funktion f(x) befinden sich zwei Teilfunktionen, von denen die eine in die andere eingesetzt ist. Das nennt man eine Verkettung von Funktionen.

Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion – du erkennst sie an der Potenz 3. Nennen wir sie g(x):

g(x)=()3

Das, was in diese Funktion eingesetzt ist, nämlich x2+4, nennen wir die innere Funktion oder auch h(x).

Alles klar? Lass uns noch ein paar Beispiele dazu ansehen!

Der schwierigste Schritt beim Anwenden der Kettenregel ist es, die äußere und die innere Funktion der Verkettung korrekt aufzuschreiben. Die folgenden Beispiele helfen dir, die Teilfunktionen besser zu erkennen.

Beispiel 1: Klammern mit Potenzfunktion

Wir wiederholen dieses Beispiel hier noch einmal der Vollständigkeit halber:

f(x)=(x2+4)3

äußere Funktion g(x)=()3
innere Funktion h(x)=x2+4

Beispiel 2: Wurzelfunktion

f(x)=√x2−5

äußere Funktion: g(x)=√x
innere Funktion: h(x)=x2−5

Beispiel 3: Die e-Funktion

f(x)=ex3+1

äußere Funktion: g(x)=ex
innere Funktion:h(x)=x3+1

Beispiel 4: Logarithmusfunktion

f(x)=ln(x2−2)

äußere Funktion: g(x)=ln()
innere Funktion: h(x)=x2−2

Beispiel 5: Sinusfunktion

f(x)=sin(x3+4)

äußere Funktion: sin(x)
innere Funktion: x3+4

Nun kannst du äußere und innere Funktionen erkennen. Wir schauen uns als Nächstes die Formel für die Kettenregel an.

So sieht die Ableitungsregel aus, die als Kettenregel bekannt ist

In der Formel kannst du sowohl die äußere als auch die innere Funktion der Verkettung und außerdem die Ableitungen der beiden erkennen:

f(x)=g(h(x))

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

g(x): äußere Funktion

h(x): innere Funktion

g′(x): Ableitung der äußeren Funktion

h′(x): Ableitung der inneren Funktion

Um die Kettenregel anzuwenden, gehst du immer in folgenden fünf Schritten vor:

1. Formel für die Kettenregel aufschreiben

2. Äußere und innere Funktion bestimmen

3. Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden

4. Alle Werte einsetzen

5. Gegebenenfalls vereinfachen

Genau diese Schritte gehen wir nun an den oben bereits genannten Beispielen durch.

Beispiel 1: Klammern mit Potenzfunktion 

Unsere Funktion für dieses Beispiel heißt:  f(x)=(x2+4)3

Schritt 1: Formel für die Kettenregel aufschreiben

f(x)=g(h(x))
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

Schritt 2: Äußere und innere Funktion bestimmen

äußere Funktion g(x)=()3
innere Funktion h(x)=x2+4

Schritt 3: Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden

Die äußere Funktion g(x)=()3 können wir mithilfe der Potenzregel ableiten:
g′(x)=3()2

Auch bei der Ableitung der inneren Funktion h(x)=x2+4 hilft uns die Potenzregel weiter:
h′(x)=2x

Fertig! Nun können wir unsere Ergebnisse in die Formel einsetzen.

Schritt 4: Alle Werte einsetzen

Wir haben bisher ermittelt:

g(x)=()3
h(x)=x2+4
g′(x)=3()2
h′(x)=2x

Wir setzen ein:

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
f′(x)=3(x2+4)2⋅2x

Schritt 5: Vereinfachen

Tatsächlich können wir unser Ergebnis noch ein wenig vereinfachen, indem wir die Terme 3 und 2x miteinander multiplizieren:

f′(x)=6x(x2+4)2

Fertig ist unsere Ableitung nach der Kettenregel!

Beispiel 2: Wurzelfunktion

Unsere Funktion für dieses Beispiel heißt:

f(x)=√x2−5

Schritt 1: Formel für die Kettenregel aufschreiben

f(x)=g(h(x))
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

Schritt 2: Äußere und innere Funktion bestimmen

äußere Funktion: g(x)=√x
innere Funktion: h(x)=x2−5

Schritt 3: Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden

Für die äußere Funktion g(x)=√x müssen wir die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen kennen. Sie lautet:

f(x)=√x
f′(x)=12√x

Somit lautet die Ableitung unserer äußeren Funktion g(x) ebenfalls:

g(x)=√x
g′(x)=12√x

Die innere Funktion h(x)=x2−5 können wir nach der Potenzregel ableiten:

h′(x)=2x

Schritt 4: Alle Werte einsetzen

Wir haben bisher ermittelt:

g(x)=√x
h(x)=x2−5
g′(x)=12√x
h′(x)=2x

Wir setzen ein:

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
f′(x)=12√x2−5⋅2x

Schritt 5: Vereinfachen

Auch hier können wir noch ein wenig vereinfachen, indem wir den Zähler des Bruchs mit x multiplizieren und außerdem den Faktor 2 kürzen:

f′(x)=x√x2−5

Beispiel 3: Die e-Funktion

Auch die e-Funktion gehört zu den häufig verketteten (zusammengesetzten) Funktionen. Unsere Funktion für dieses Beispiel heißt:

f(x)=ex3+1

Schritt 1: Formel für die Kettenregel aufschreiben

f(x)=g(h(x))
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

Schritt 2: Äußere und innere Funktion bestimmen

äußere Funktion: g(x)=ex
innere Funktion:h(x)=x3+1

Schritt 3: Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden

Für die Ableitung der äußeren Funktion g(x)=ex müssen wir die Ableitungsregel für die e-Funktion kennen. Sie ist ganz einfach, denn sie entspricht der ursprünglichen Form:

f(x)=ex
f′(x)=ex

Die Ableitung für unsere äußere Funktion g(x)=ex lautet also:

g′(x)=ex

Die innere Funktion h(x)=x3+1 können wir erneut ganz einfach mithilfe der Potenzregel ableiten:

h′(x)=3x

Schritt 4: Alle Werte einsetzen

Wir haben bisher ermittelt:

g(x)=ex
h(x)=x3+1
g′(x)=ex
h′(x)=3x

Wir setzen ein:

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
f′(x)=ex3+1⋅3x

Und fertig ist deine Ableitung der e-Funktion!

Beispiel 4: Logarithmusfunktion

Unsere Funktion für dieses Beispiel heißt:

f(x)=ln(x2−2)

Schritt 1: Formel für die Kettenregel aufschreiben

f(x)=g(h(x))
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

Schritt 2: Äußere und innere Funktion bestimmen

äußere Funktion: g(x)=ln()
innere Funktion: h(x)=x2−2

Schritt 3: Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden

Wie du siehst, brauchen wir hier für die äußere Funktion die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus. Die Regel lautet:

f(x)=ln(x)
f′(x)=1x

Somit lautet dann auch die Ableitung unserer äußeren Funktion g(x) = ln(x):

g′(x)=1x

Die Ableitung der inneren Funktion h(x)=x2−2 ist wieder einfach. Wir nutzen die Potenzregel und leiten ab:

h′(x)=2x

Schritt 4: Alle Werte einsetzen

Wir haben bisher ermittelt:

g(x)=ln()
h(x)=x2−2
g′(x)=1x
h′(x)=2x

Wir setzen ein:

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
f′(x)=1x2−2⋅2x

Schritt 5: Vereinfachen

Wir vereinfachen noch ein klein wenig:

f′(x)=2xx2−2

Fertig!

Beispiel 5: Sinusfunktion

Hier haben wir es mit einer zusammengesetzten Funktion mit Sinusfunktion zu tun. Unsere Funktion für dieses Beispiel heißt:

f(x)=sin(x3+4)

Schritt 1: Formel für die Kettenregel aufschreiben

f(x)=g(h(x))
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

Schritt 2: Äußere und innere Funktion bestimmen

äußere Funktion: g(x)=sin(x)
innere Funktion: h(x)=x3+4

Schritt 3: Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden

Um die Ableitung der Sinusfunktion bilden zu können, musst du die Ableitungsregel dafür kennen. Sie lautet:

f(x)=sin(x)
f′(x)=cos(x)

Somit lautet dann auch die Ableitung unserer äußeren Funktion \(g(x) = sin(x)\):

g′(x)=cos(x)

Die Ableitung der inneren Funktion h(x)=x3+4 gelingt uns mithilfe der Potenzregel:

h′(x)=3x

Schritt 4: Alle Werte einsetzen

Wir haben bisher ermittelt:

g(x)=sin(x)
h(x)=x3+4
g′(x)=cos(x)
h′(x)=3x

Wir setzen ein:

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)
f′(x)=cos(x3+4)⋅3x

Und wieder ist dir eine Ableitung gelungen – super!

Die Kettenregel beherrschst du nun. Sie kommt häufig jedoch nicht allein vor, sondern oft auch in Verbindung mit anderen Regeln wie der Potenzregel oder auch der Produktregel. Schau dir daher auch unsere Erklärungen und Online-Übungen zu den weiteren Ableitungsregeln an:

• Faktorregel und Potenzregel

• Summenregel und Differenzregel

• Quotientenregel

• Produktregel