Schnittpunkte berechnen

Wenn du zwei Funktionen im selben Koordinatensystem (oder auch Vektorraum) betrachtest, erkennst du möglicherweise, dass diese Funktionen Schnittpunkte aufweisen. Das ist dann der Fall, wenn die Graphen der Funktionen sich schneiden:

Natürlich ist es auch möglich, diese Schnittpunkte mathematisch zu berechnen. Das ist auch wichtig, schließlich hast du nicht immer den Funktionsgraphen zur Hand. Wie es dir gelingt, Schnittpunkte von verschiedenen Funktionen zu bestimmen, schauen wir uns jetzt anhand vieler Beispiele an. 

Unabhängig davon, welche Funktionen du betrachtest, ist das Vorgehen immer gleich:

1. Setze die beiden Funktionen gleich.
   Da die beiden Funktionen sich in einem Punkt, in dem sie sich schneiden, gleich verhalten müssen, können wir sie gleichsetzen, um den Schnittpunkt zu finden.
2. Löse die neu entstandene Gleichung nach x auf.
   So findest du den x-Wert des Schnittpunkts – oder du stößt auf einen Widerspruch, der deutlich macht, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
3. Setze den gefundenen x-Wert in eine der beiden Gleichungen ein. 
   So ermittelst du die y-Koordinate deines Schnittpunkts.

Bereit für ein paar Beispiele?

Die Graphen von linearen Funktionen sind Geraden. Zwei lineare Funktionen können sich daher nur in einem einzigen Punkt schneiden. Untersuchen wir folgende zwei Funktionen auf einen solchen möglichen Schnittpunkt:

g(x)=2x+1

h(x)=x+2

Wir gehen unsere drei Schritte durch.

Schritt 1: Setze die beiden Funktionen gleich

Wir schreiben:

2x+1=x+2

Schritt 2: Löse die neu entstandene Gleichung nach x auf

Das erreichen wir durch Äquivalenzumformungen. 

2x+1=x+2∣−x

x+1=2∣−1

x=1

Das ist der x-Wert unseres Schnittpunktes. 

Diese Aussage ist falsch – die Gleichung ist nicht lösbar. Das bedeutet: Für diese beiden Geraden gibt es keinen Schnittpunkt. Aber warum ist das so? Wenn du genau hinschaust, kannst du an den Funktionsgleichungen erkennen, dass beide Geraden die gleiche Steigung (nämlich 1x) haben. Somit verlaufen sie parallel zueinander und können sich dementsprechend auch nicht schneiden. So sieht das aus:

Während der Graph einer linearen Funktion eine Gerade darstellt, bildet der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel. Somit sind maximal zwei Schnittpunkte möglich. Wir prüfen folgende zwei Funktionen auf Schnittpunkte:

g(x)=−35x2+3x

h(x)=−0,6x+3

Schritt 1: Setze die beiden Funktionen gleich

Wir schreiben:

−35x2+3x=−0,6x+3

Schritt 2: Löse die neu entstandene Gleichung nach x auf

Die neu entstandene Gleichung ist eine quadratische Gleichung. Diese lösen wir mithilfe der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel. Dazu müssen wir sie aber zunächst in die Normalform bringen:

−35x2+3x=−0,6x+3∣+35x2

3x=+35x2−0,6x+3∣−3x

0=+35x2–3,6x+3

Da vor dem x2 ein Vorfaktor steht, müssen wir hier die Mitternachtsformel verwenden, um die Gleichung zu lösen:

x1,2=−b±√b2−4ac2a

x1,2=3,6±√3,62−4⋅35⋅32⋅35

x1,2=3,6±√12,96−7,21,2

x1,2=3,6±2,41,2

x1=3,6+2,41,2=5

x2=3,6−2,41,2=1

Wir wissen nun, dass es zwei Schnittpunkte gibt, und zwar bei x=1 und bei x=5. Nun brauchen wir noch die passenden y-Koordinaten.

Auch zwei quadratische Funktionen kannst du nach demselben Vorgehen auf Schnittpunkte prüfen. Wir nehmen als Beispiel:

g(x)=−x2+x+1

h(x)=2x2−4x−7

Schritt 1: Setze die beiden Funktionen gleich

Wir schreiben:

−x2+x+1=2x2−4x−7

Schritt 2: Löse die neu entstandene Gleichung nach x auf

Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, müssen wir die Gleichung zunächst in die Normalform bringen. 

−x2+x+1=2x2−4x−7∣+x2

x+1=3x2−4x−7∣−x

1=3x2−5x−7∣−1

0=3x2−5x−8

An dieser Stelle können wir wieder die Mitternachtsformel nutzen und erhalten die Lösungen: 

x1=−1

x2=83

Wir haben also zwei Schnittpunkte gefunden. 

Tipp: Sollst du die Schnittpunkte von Funktionen höheren Grades berechnen? Das funktioniert nach dem exakt selben Prinzip. Nur ist es etwas aufwendiger, die Nullstellen zu bestimmen. 

Hast du zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum gegeben und sollst ermitteln, ob diese einen Schnittpunkt haben? Das zeigen wir dir ebenfalls an einem Beispiel. Wir nehmen folgende zwei Geraden in R3:

g:→x=(13−2)+r⋅(493)

h:→x=(5121)+s⋅(810)

Bevor wir einen möglichen Schnittpunkt berechnen, wollen wir ausschließen, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind. Wenn sie nämlich linear abhängig sind, dann sind sie entweder identisch oder verlaufen parallel zueinander – in beiden Fällen gibt es dann keinen Schnittpunkt. Um die lineare Abhängigkeit zu überprüfen, wollen wir herausfinden, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Ist also folgende Gleichung lösbar?

(493)⋅k=(810)

Wir sehen sofort: In der obersten Reihe müssten wir 4 mit 2 multiplizieren, um 8 zu erhalten. Schon für die mittlere Reihe klappt das aber nicht mehr:  9⋅2=18, nicht 1. Somit gibt es keine Lösung für k. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig und somit kann es einen Schnittpunkt geben.

Nun können wir mit der Berechnung beginnen. Wie gewohnt setzen wir die beiden Gleichungen, in diesem Fall Geradengleichungen, gleich:

(13−2)+r⋅(493)=(5121)+s⋅(810)

Daraus entwickeln wir das Gleichungssystem:

(I)   1+4r=5+8s

(II)  3+9r=12+s

(III) −2+3r=1

Da in der Gleichung (III) s aufgrund der Multiplikation mit Null weggefallen ist, können wir sehr leicht nach r auflösen:

(III)         –2+3r=1∣+2

              3r=3

              r=1

Wir setzen nun r=1 in eine der anderen beiden Gleichungen ein, um s zu ermitteln:

(II)          3+9⋅1=12+s

              12=12+s∣−12

              s=0

Nun müssen wir prüfen, ob unsere gefundenen Werte für r und s auch die erste Gleichung (I) erfüllen oder ob sich ein Widerspruch ergibt und das Gleichungssystem unlösbar ist. Wir setzen also ein:

(I)            1+4r=5+8s

               1+4⋅1=5+8⋅0

               1+4=5+0

               5=5

Super! Damit wissen wir nun definitiv, dass unsere Geraden sich schneiden. Doch in welchem Punkt? Dazu setzen wir entweder r=1 in die ursprüngliche Geradengleichung g ein, oder wir lösen die Geradengleichung h mit s=0. Beide Vorgehensweisen liefern uns denselben Schnittpunkt. Wir wählen hier die Gleichung g: 

g:→x=(13−2)+r⋅(493)

g:→x=(13−2)+1⋅(493)

g:→x=(1+43+9−2+3)

g:→x=(5121)

Fertig! Der Schnittpunkt unserer Geraden liegt bei S(5∣12∣1).