Flächeninhalt Integral – online lernen

Orientierte Flächeninhalte

Bei der Berechnung von Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse kann es vorkommen, dass die Fläche unterhalb der x-Achse verläuft. Solche Flächen werden beim Integral mit einem negativen Vorzeichen versehen. Da es an sich jedoch keine negativen Flächeninhalte gibt, spricht man in diesem Fall deshalb von Orientierten Flächeninhalten.

Skizze:

Befindet sich die eingeschlossene Fläche sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse, treten Auslöschungseffekte auf. Möchte man den Flächeninhalt berechnen, so muss man das Integral aufteilen: in den Teil der Fläche, der oberhalb der x-Achse verläuft, und den Teil, der unterhalb verläuft. Diese integriert man dann getrennt voneinander und summiert die Beträge der einzelnen Flächeninhalte auf.

Beispielaufgabe:

Berechne die markierten Flächeninhalte der Funktionen:

a) f(x)=89(x−52)2−2

b) g(x)=x3−8x2+19x−12

Lösung:

a) F(x)=827(x−52)3−2x

∫41f(x)dx=F(4)−F(1)=−4

b) G(x)=14x4−83x3+192x2−12x

∫31g(x)dx=G(3)−G(1)=83;

Alternativ kann man auch die Betragsfunktion bilden und über den gesamten Bereich integrieren:
A=∫41|g(x)|dx=3712