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Volumenintegral – online lernen

Wenn du eine Figur, zum Beispiel ein Dreieck oder einen Teil einer Funktion um die x- oder y-Achse rotieren lässt, entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Mit Hilfe von Integralen kannst du das entstehende Volumen berechnen.

Wiki zum Thema: Volumen von Rotationskörpern

Volumen von Rotationskörpern

Rotation um x-Achse


Rotiert ein Funktionsgraph auf einem Intervall [a;b],a<b um die x-Achse, kann man das Volumen des dadurch entstehenden Rotationskörpers berechnen. Man zerlegt das Gesamtvolumen in einzelne, infinitesimal kleine Volumina – nämlich Zylinder. Für das Volumen eines Zylinders gilt:

Vz=πr2h.

Summiert man nun alle Zylinder auf, entsteht ein Integral. Der Radius entspricht dem Funktionswert. Es gilt:

VRot.=πbaf(x)2dx


Skizze:



Beispielaufgabe:

Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion
f(x)=x+1 im Intervall [0;4] um die x–Achse rotiert.


Lösung:

V=π40(x+1)2dx=π40(x+1)dx=π[12x2+x]40=π(1242+4)=12π37,7 VE

Volumen von Rotationskörpern,
Rotation um y-Achse


Bei der Rotation des Graphen einer Funktion f um die y–Achse auf dem Intervall [a;b],a<b können wir das Volumen des entstehenden Körpers mit folgender Formel berechnen:

VRot.=πf(b)f(a)(f1(y))2dy

f muss dazu auf [a;b] umkehrbar sein, x=f1(y) ist dann die Umkehrfunktion.


Skizze:



Beispielaufgabe:

Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion
f(x)=x2 auf dem Intervall I=[0;1,5] um die y-Achse rotiert.

Lösung:

Umkehrfunktion: y=x2x=±y.
Auf I eingeschränkt: x=y
Grenzen bestimmen: f(a)=0=0;f(b)=1,5

V=π1,50(y)2dy=π1,50ydy=π[12y2]1,50=π2(1,520)=34π2,36 VE

Arbeitsblätter
Integralrechnung
Volumen von Rotationskörpern
Schwierigkeitsgrad 1
Serie 3


Aufgabe 1
Berechne das Volumen der Rotationskörper um die x

-Achse im angegebenen Intervall.
Belasse dabei in den Ergebnissen π
als Faktor und ersetze ihn nicht durch eine Näherung.

a)f(x)=2x
I=[1;2]
b)f(x)=x2
I=[0;1]
c)f(x)=x3
I=[0;2]
d)f(x)=12x2
I=[0;2]
e)f(x)=2x2
I=[0;2]
f)f(x)=12x234x
I=[2;0]
g)f(x)=x32x2
I=[1;2]
h)f(x)=2x0,5x2
I=[0;4]


Aufgabe 2

Berechne das Volumen der Rotationskörper um die x

-Achse im angegebenen Intervall.
Runde dabei das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

a)f(x)=4x
I=[1;2]
b)f(x)=x3
I=[1;2]
c)f(x)=2x2+1
I=[0;2]
d)f(x)=12x2x
I=[0;2]
e)f(x)=3x22x
I=[1;3]
f)f(x)=x3
I=[0;3]
g)f(x)=2x3
I=[1;2]
h)f(x)=3x32x2
I=[0;2]


Aufgabe 3

Gegeben ist jeweils die Funktion f(x)

auf dem Intervall I
.
Berechne das Volumen der Rotationskörper um die y
-Achse, indem du die Umkehrfunktion bildest und die für die y
-Achse geltenden Integrationsgrenzen berechnest.
Runde dabei das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

a)f(x)=0,5x
I=[0;4]
b)f(x)=12x
I=[2;4]
c)f(x)=x2
I=[0;2]
d)f(x)=ln(x)
I=[1;e2]
e)f(x)=x2
I=[2;3]
f)f(x)=x2
I=[1;4]
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Videos
um x-Achse mit Dennis
um y-Achse mit Dennis
Webinar: Integrale - Grundlagen
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