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Volumen von Rotationskörpern

Volumenintegral – online lernen

Wenn du eine Figur, zum Beispiel ein Dreieck oder einen Teil einer Funktion um die x- oder y-Achse rotieren lässt, entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Mit Hilfe von Integralen kannst du das entstehende Volumen berechnen.

Wiki zum Thema: Volumen von Rotationskörpern

Volumen von Rotationskörpern

Rotation um x-Achse

Rotiert ein Funktionsgraph auf einem Intervall $[a; b], a < b$ um die $x$ -Achse, kann man das Volumen des dadurch entstehenden Rotationskörpers berechnen. Man zerlegt das Gesamtvolumen in einzelne, infinitesimal kleine Volumina – nämlich Zylinder. Für das Volumen eines Zylinders gilt:

$V_{z} = π \cdot r^{2} \cdot h$ .

Summiert man nun alle Zylinder auf, entsteht ein Integral. Der Radius entspricht dem Funktionswert. Es gilt:

V_{R o t .} = π \cdot \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x

Skizze:

Beispielaufgabe:

Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion
$f (x) = \sqrt{x + 1}$ im Intervall $[0; 4]$ um die $x$ –Achse rotiert.

Lösung:

\begin{aligned} V & = π \int_{0}^{4} (\sqrt{x + 1})^{2} d x \\ = π \int_{0}^{4} (x + 1) d x \\ = π [\frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{4} \\ = π (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 4) \\ = 12 π \approx 37, 7 VE \end{aligned}

Volumen von Rotationskörpern,
Rotation um y-Achse

Bei der Rotation des Graphen einer Funktion $f$ um die $y$ –Achse auf dem Intervall $[a; b], a < b$ können wir das Volumen des entstehenden Körpers mit folgender Formel berechnen:

V_{R o t .} = π \cdot \int_{f (a)}^{f (b)} {(f^{- 1} (y))}^{2} d y

$f$ muss dazu auf $[a; b]$ umkehrbar sein, $x = f^{- 1} (y)$ ist dann die Umkehrfunktion.

Skizze:

Beispielaufgabe:

Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion
$f (x) = x^{2}$ auf dem Intervall $I = [0; 1, 5]$ um die $y$ -Achse rotiert.

Lösung:

Umkehrfunktion: $y = x^{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{y} .$
Auf $I$ eingeschränkt: $x = \sqrt{y}$
Grenzen bestimmen: $f (a) = \sqrt{0} = 0; f (b) = \sqrt{1, 5}$

\begin{aligned} V & = π \int_{0}^{\sqrt{1, 5}} {(\sqrt{y})}^{2} d y \\ = π \int_{0}^{\sqrt{1, 5}} y d y \\ = π [\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{\sqrt{1, 5}} \\ = \frac{π}{2} \cdot ({\sqrt{1, 5}}^{2} - 0) \\ = \frac{3}{4} π \approx 2, 36 VE \end{aligned}

Arbeitsblätter

Volumen von Rotationskörpern

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 6975

Integralrechnung

Volumen von Rotationskörpern

Schwierigkeitsgrad 1
Serie 3

Aufgabe 1
Berechne das Volumen der Rotationskörper um die

x

-Achse im angegebenen Intervall.
Belasse dabei in den Ergebnissen

π

als Faktor und ersetze ihn nicht durch eine Näherung.

a)	$f (x) = 2 x$	$I = [1; 2]$	b)	$f (x) = x^{2}$	$I = [0; 1]$
c)	$f (x) = x^{3}$	$I = [0; 2]$	d)	$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$	$I = [0; 2]$
e)	$f (x) = 2 x^{2}$	$I = [0; 2]$	f)	$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{4} x$	$I = [- 2; 0]$
g)	$f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$	$I = [1; 2]$	h)	$f (x) = 2 x - 0, 5 x^{2}$	$I = [0; 4]$

Aufgabe 2

Berechne das Volumen der Rotationskörper um die

x

-Achse im angegebenen Intervall.
Runde dabei das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

a)	$f (x) = 4 x$	$I = [1; 2]$	b)	$f (x) = x^{3}$	$I = [1; 2]$
c)	$f (x) = 2 x^{2} + 1$	$I = [0; 2]$	d)	$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$	$I = [0; 2]$
e)	$f (x) = 3 x^{2} - 2 x$	$I = [1; 3]$	f)	$f (x) = x^{3}$	$I = [0; 3]$
g)	$f (x) = 2 x^{3}$	$I = [1; 2]$	h)	$f (x) = 3 x - \frac{3}{2} x^{2}$	$I = [0; 2]$

Aufgabe 3

Gegeben ist jeweils die Funktion

f (x)

auf dem Intervall

I

.
Berechne das Volumen der Rotationskörper um die

y

-Achse, indem du die Umkehrfunktion bildest und die für die

y

-Achse geltenden Integrationsgrenzen berechnest.
Runde dabei das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

a)	$f (x) = 0, 5 x$	$I = [0; 4]$	b)	$f (x) = \frac{1}{2} x$	$I = [2; 4]$
c)	$f (x) = x^{2}$	$I = [0; 2]$	d)	$f (x) = \ln (x)$	$I = [1; e^{2}]$
e)	$f (x) = x^{2}$	$I = [2; 3]$	f)	$f (x) = x^{2}$	$I = [1; 4]$

Volumen von Rotationskörpern

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 961

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 962

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 6976

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 6977

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 963

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um x-Achse mit Dennis

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