Volumenintegral – online lernen
Wenn du eine Figur, zum Beispiel ein Dreieck oder einen Teil einer Funktion um die x- oder y-Achse rotieren lässt, entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Mit Hilfe von Integralen kannst du das entstehende Volumen berechnen.
Volumen von Rotationskörpern
Rotation um x-Achse
Rotiert ein Funktionsgraph auf einem Intervall [a;b],a<b um die x-Achse, kann man das Volumen des dadurch entstehenden Rotationskörpers berechnen. Man zerlegt das Gesamtvolumen in einzelne, infinitesimal kleine Volumina – nämlich Zylinder. Für das Volumen eines Zylinders gilt:
Vz=π⋅r2⋅h.
Summiert man nun alle Zylinder auf, entsteht ein Integral. Der Radius entspricht dem Funktionswert. Es gilt:
VRot.=π⋅∫baf(x)2dx
Skizze:
Beispielaufgabe:
Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion
f(x)=√x+1 im Intervall [0;4] um die x–Achse rotiert.
Lösung:
V=π∫40(√x+1)2dx=π∫40(x+1)dx=π[12x2+x]40=π(12⋅42+4)=12π≈37,7 VE
Volumen von Rotationskörpern,
Rotation um y-Achse
Bei der Rotation des Graphen einer Funktion f um die y–Achse auf dem Intervall [a;b],a<b können wir das Volumen des entstehenden Körpers mit folgender Formel berechnen:
VRot.=π⋅∫f(b)f(a)(f−1(y))2dy
f muss dazu auf [a;b] umkehrbar sein, x=f−1(y) ist dann die Umkehrfunktion.
Skizze:
Beispielaufgabe:
Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion
f(x)=x2 auf dem Intervall I=[0;1,5] um die y-Achse rotiert.
Lösung:
Umkehrfunktion: y=x2⇒x=±√y.
Auf I eingeschränkt: x=√y
Grenzen bestimmen: f(a)=√0=0;f(b)=√1,5
V=π∫√1,50(√y)2dy=π∫√1,50ydy=π[12y2]√1,50=π2⋅(√1,52−0)=34π≈2,36 VE
Volumen von Rotationskörpern
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6975
| Integralrechnung Volumen von Rotationskörpern | Schwierigkeitsgrad 1 Serie 3 |
Aufgabe 1
Berechne das Volumen der Rotationskörper um die x
Belasse dabei in den Ergebnissen π
| a) | f(x)=2x | I=[1;2] | b) | f(x)=x2 | I=[0;1] |
| c) | f(x)=x3 | I=[0;2] | d) | f(x)=12x2 | I=[0;2] |
| e) | f(x)=2x2 | I=[0;2] | f) | f(x)=12x2−34x | I=[−2;0] |
| g) | f(x)=x3−2x2 | I=[1;2] | h) | f(x)=2x−0,5x2 | I=[0;4] |
Aufgabe 2
Berechne das Volumen der Rotationskörper um die x
Runde dabei das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
| a) | f(x)=4x | I=[1;2] | b) | f(x)=x3 | I=[1;2] |
| c) | f(x)=2x2+1 | I=[0;2] | d) | f(x)=12x2−x | I=[0;2] |
| e) | f(x)=3x2−2x | I=[1;3] | f) | f(x)=x3 | I=[0;3] |
| g) | f(x)=2x3 | I=[1;2] | h) | f(x)=3x−32x2 | I=[0;2] |
Aufgabe 3
Gegeben ist jeweils die Funktion f(x)
Berechne das Volumen der Rotationskörper um die y
Runde dabei das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
| a) | f(x)=0,5x | I=[0;4] | b) | f(x)=12x | I=[2;4] |
| c) | f(x)=x2 | I=[0;2] | d) | f(x)=ln(x) | I=[1;e2] |
| e) | f(x)=x2 | I=[2;3] | f) | f(x)=x2 | I=[1;4] |
Volumen von Rotationskörpern
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 961
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 962
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6976
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6977
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 963
