Wurzelgleichungen – online lernen

Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen auf mindestens einer Seite der Gleichung die Variable unter der Wurzel steht. Diese werden gelöst, indem man die Wurzeln isoliert und die gesamte Gleichung quadriert.

Vor dem Lösen der Gleichung sollte man die Definitionsmenge bestimmen, also die Zahlen, die überhaupt nur eingesetzt werden dürfen, damit der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein.

Nach dem Lösen muss man unbedingt die Probe durchführen, d.h. die gefundenen x$x$-Werte müssen in die Gleichung eingesetzt werden. Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können Lösungen dazukommen, die nicht Lösungen der Anfangsgleichung sind. Durch das Durchführen der Probe kann man diese Lösungen bestimmen, sie sind nicht Teil der Lösungsmenge der Anfangsgleichung.

Beispiel:

Löse die Gleichung x−2−−−−−√$\sqrt{x-2}$ = x−14$x-14$.

Definitionsmenge:

D={x∈R∣x≥2}=[2;∞)$\mathbb{D}=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}=[2;\mathrm{\infty })$

Wurzelgleichung auflösen:

Mit Hilfe der Mitternachtsformel oder der pq$pq$-Formel löst man die Gleichung und erhält:
x1=11$x_1=11$ und x2=18$x_2=18$.

Lösungen überprüfen:

Somit ist nur x2=18$x_2=18$ Lösung der Gleichung, es gilt L={18}$\mathbb{L}=\{18\}$.