Integral berechnen – online lernen

Integral:

Ober– und Untersumme

Gegeben sei eine stetige Funktion f mit (vorerst) f(x)≥0. Ziel ist es, die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x–Achse auf einem vorgegebenen Intervall [a;b] zu berechnen.

Dazu zerlegt man das Intervall in n äquidistante (gleichbreite) Teilstücke und berechnet den Flächeninhalt von Rechtecken, die einmal unterhalb des Graphen und einmal oberhalb des Graphen eingepasst werden.

Skizze:

Der aufsummierte Flächeninhalt der linken roten Rechtecke heißt UntersummeU(n),
der der rechten grünen Rechtecke ObersummeO(n).
Je feiner die Unterteilung ist, je größer also n ist, umso besser nähert sich der Flächeninhalt der Rechtecke an den tatsächlichen Flächeninhalt an.

Man kann beweisen, dass bei einer stetigen Funktion f der Grenzwert von Unter– und Obersumme der Fläche unter dem Graphen entspricht. Dieser Grenzwert heißt Integral von f über dem Intervall [a;b].

Es gilt:

limn→∞U(n)=limn→∞O(n)=∫baf(x)dx