Mathematik – Flächenberechnung

Was ist überhaupt eine Fläche? Eine Fläche hat zwei Dimensionen – im Gegensatz zu einer Linie, die nur eine Dimension hat, und einem Körper mit drei Dimensionen. Wenn du eine Fläche berechnen möchtest, brauchst du also zwei Angaben, meist eine Länge und eine Breite. 

Flächen können flach sein (wie beim einem Würfel, der sechs Flächen hat) oder gekrümmt (wie die Oberfläche einer Kugel – das ist nur eine). 

In Mathematik gehört die Flächenberechnung zum Bereich Geometrie. Du hast es hier also zum Beispiel mit Quadraten, Kreisen oder Trapezen zu tun. 

Für die Flächenberechnung mit den Flächenformeln musst du ein paar Fachbegriffe und Bezeichnungen kennen. Wir erklären sie dir hier: 

• Flächeninhalt: In allen Formeln für die Flächenberechnung wird der Flächeninhalt mit einem großen \( A \) bezeichnet. 
• Seiten: Die erste Seite einer Fläche heißt meist \( a \). In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang, deshalb heißen alle Seiten \( a \). Wenn die Seiten aber unterschiedlich lang sind, brauchst du mehrere Buchstaben: für ein Rechteck \( a \) und \( b \), für ein Dreieck \( a \), \( b \) und \( c \) und für Vierecke wie das Trapez sogar \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \).
• Höhe: Für die Flächenberechnung mancher Figuren brauchst du außerdem die Höhe. Sie wird \( h \) genannt. Die Höhe steht immer senkrecht zu einer Seite. Oft wird sie deshalb nach dieser Seite benannt, also zum Beispiel \( h_a \) für die Höhe auf der Seite \( a \).
• Diagonalen: Manchmal musst du für den Flächeninhalt einer Figur die Diagonalen kennen. Sie heißen meist \( e \) und \( f \). Die brauchst du zum Beispiel für die Flächenberechnung des Drachenvierecks. 
• Radius: Für die Berechnung von Kreisflächen brauchst du den Radius. Das ist die Strecke, die von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie in gerader Linie direkt zum Mittelpunkt des Kreises geht. Die Bezeichnung für den Radius ist \( r \).
• Pi: Pi wird auch die Kreiszahl genannt und mit dem griechischen Buchstaben \( \pi \) bezeichnet. Pi ist eine Zahl mit unendlich vielen Stellen, gerundet etwa 3,14. 
• Winkelsumme: Die Winkelsumme erhältst du, wenn du die Größen aller Winkel in einer Figur zusammenrechnest, also Winkel \( \alpha \) plus Winkel \( \beta \) plus Winkel \( \gamma \) etc. Für die Flächenberechnung brauchst du sie nur indirekt, zum Beispiel für manche Rechnungen im rechtwinkligen Dreieck.

Jetzt kennst du die wichtigsten Begriffe und wir können uns die Formeln für die Flächenberechnung verschiedener Figuren ansehen. 

Beim Quadrat ist die Flächenberechnung besonders einfach erklärt, denn ein Quadrat hat vier Seiten, die alle gleich lang sind. Deshalb heißen sie alle a. Da du für die Flächenberechnung normalerweise zwei Längen multiplizieren musst, gilt für den Flächeninhalt eines Quadrats folgendes:

Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats: 

\( A = a \cdot a = a^2 \)

Wichtige Eigenschaften eines Quadrats:

• vier gleich lange Seiten
• vier rechte Winkel
• Winkelinnensumme 360 Grad

Ein Rechteck ähnelt einem Quadrat, doch nur die jeweils gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang. Du musst also mit zwei verschiedenen Längen rechnen. Deshalb heißen die Seiten a und b. Und so berechnest du den Flächeninhalt im Rechteck:

Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks:

\( A = a \cdot b \)

Wichtige Eigenschaften eines Rechtecks:

• vier Seiten, die gegenüberliegenden sind jeweils parallel und gleich lang
• vier rechte Winkel
• Winkelinnensumme 360 Grad

Ein Dreieck hat drei Seiten. Oft sind sie unterschiedlich lang, deshalb heißen sie a, b und c. Bei den Dreiecken gibt es einige Sonderfälle und damit unterschiedliche Flächenformeln, aber schauen wir uns zuerst die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an:

Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

\( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \)

Den Flächeninhalt im allgemeinen Dreieck berechnet man also mit der Höhe. Du musst darauf achten, dass es die Höhe ist, die zu der Seite gehört, mit der du rechnest. 

Wichtige Eigenschaften eines Dreiecks:

• drei Seiten
• Winkel können unterschiedlich groß sein
• Winkelinnensumme 180 Grad

Wie kann man bei einem Dreieck den Flächeninhalt berechnen, wenn man die Höhe nicht kennt? Das geht in bestimmten Sonderfällen. Ein solcher Sonderfall ist das rechtwinklige Dreieck. Es heißt so, weil es genau einen rechten Winkel hat. Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du ohne die Höhe berechnen:

\( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \)

Das liegt daran, dass du zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke zu einem Rechteck zusammensetzen kannst. Und wie kannst du den Flächeninhalt im Rechteck berechnen? Genau, mit
\( A = a \cdot b \). Und das musst du dann nur noch durch zwei teilen!

Auch das gleichschenklige Dreieck wirst du in Mathe antreffen. Es heißt gleichschenklig, weil zwei Schenkel (Seiten) in diesem Dreieck gleich lang sind. Deshalb gibt es auch hier für die Flächenberechnung eine Formel, für die du die Höhe nicht brauchst. Die gleich langen Seiten heißen dabei a und die dritte Seite heißt c.

\( A = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} \)

Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang. Sie heißen alle a. Damit sind auch alle Winkel gleich groß, nämlich 60 Grad. Auch das gleichseitige Dreieck kannst du ohne die Höhe berechnen. So sieht die Formel für die Flächenberechnung aus:

\( A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} \)

Hier ein kurzer Zwischenstand über die Formeln für die Flächenmaße in Dreiecken:

allgemeines Dreieck:

\( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \)

rechtwinkliges Dreieck:

\( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \)

gleichschenkliges Dreieck:

\( A = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} \)

gleichseitiges Dreieck:

\( A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} \)

Der Flächeninhalt eines Kreises ist besonders, denn ein Kreis hat keine Seiten wie ein Rechteck oder ein Dreieck. Wie kann man den Flächeninhalt im Kreis berechnen? Hier helfen uns der Radius und die Kreiszahl Pi weiter.

Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

\( A = \pi \cdot r^2 \)

Wichtige Eigenschaften eines Kreises:

• keine Seiten, dafür eine Kreislinie
• alle Punkte auf der Kreislinie gleich weit entfernt vom Mittelpunkt

Ein Trapez ähnelt einem Rechteck, das ein bisschen zusammengedrückt wurde. Es hat vier Seiten, die in der Regel alle unterschiedlich lang sind. Zwei davon sind parallel, zwei nicht. Wie kannst du trotzdem den Flächeninhalt beim Trapez berechnen? Dazu brauchst du wieder die Höhe.

Formel für den Flächeninhalt beim Trapez:

\( A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + c) \)

Wichtig: Die Seiten a und c sind hier die beiden parallel liegenden Seiten.

Wichtige Eigenschaften eines Trapezes:

• vier Seiten, die alle unterschiedlich lang sind
• zwei davon parallel zueinander
• Winkelsumme 360 Grad

Ein Parallelogramm ist ein Sonderfall von einem Trapez. Hier gibt es zwei Seitenpaare, und die Seiten in einem Paar sind jeweils parallel und gleich lang. Um den Flächeninhalt des Parallelogramms zu berechnen, brauchst du wieder die Höhe.

Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms:

\( A = a \cdot h_a \)

Wichtige Eigenschaften eines Parallelogramms:

• vier Seiten, jeweils die gegenüberliegenden sind parallel und gleich lang
• Winkelsumme 360 Grad

Wie das Parallelogramm ein Sonderfall des Trapezes ist, so ist die Raute ein Sonderfall des Parallelogramms. Hier sind nämlich ebenfalls die gegenüberliegenden Seiten parallel, aber alle vier Seiten sind gleich lang. Eine Raute sieht aus wie ein verzogenes Quadrat, hat aber keine rechten Winkel. Um den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen, hast du zwei Möglichkeiten:

Du kannst die Formel der Flächenberechnung beim Parallelogramm nutzen.
Du kannst den Flächeninhalt berechnen, indem du mit den Diagonalen e und f rechnest.

Formeln für den Flächeninhalt einer Raute:

\( A = a \cdot h_a \)

Und wie kannst du den Flächeninhalt einer Raute berechnen, wenn du nur die Diagonalen kennst? So:

\( A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \)

Wichtige Eigenschaften einer Raute:

• alle vier Seiten gleich lang
• gegenüberliegende Seiten parallel
• keine rechten Winkel
• Winkelinnensumme 360 Grad

Das Drachenviereck hat wieder zwei Seitenpaare, in denen die Seiten gleich lang sind. Diesmal sind es aber nicht die gegenüberliegenden Seiten, sondern die Seiten a und b sowie c und d. Außerdem stehen die Diagonalen e und f im rechten Winkel zueinander. Praktischerweise kannst du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auch berechnen, wenn du nur die Diagonalen kennst:

Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks:

\( A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \)

Wichtige Eigenschaften eines Drachenvierecks:

• vier Seiten, die nicht gegenüberliegenden sind jeweils gleich lang
• Diagonalen stehen senkrecht zueinander
• Winkelsumme 360 Grad

Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen, wenn mathematische Figuren zusammengesetzt werden? Ganz einfach: Du zerteilst die zusammengesetzten Flächen in einzelne Figuren, berechnest jeweils einzeln den Flächeneinhalt und addierst zum Schluss deine Ergebnisse.

Beispiel für die Flächenberechnung:

Maxi hat ein Haus gezeichnet. Das Haus hat eine quadratische Fläche mit einer Seitenlänge von 5 cm. Das dreieckige Dach hat einen rechten Winkel und ist 3,5 cm hoch. Außerdem gibt es direkt neben dem Haus einen Schuppen, der 3 cm breit und 4 cm hoch ist. 

So sieht die Zeichnung aus:

Und so rechnest du:

Das Haus ist quadratisch. Daher kannst du den Flächeninhalt so berechnen:

\( A = (5 \, \text{cm})^2 = 25 \, \text{cm}^2 \)

Das Dach ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe kennst du auch. Daher kannst du einsetzen:

\( A = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{cm} \cdot 3,5 \, \text{cm} = 8,75 \, \text{cm}^2 \)

Der Schuppen ist ein Rechteck und du kennst die Seitenlängen a und b. Daher kannst du rechnen:

\( A = 3 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}^2 \)

Zum Schluss addierst du alle Ergebnisse:

\( A = 25 \, \text{cm}^2 + 8,75 \, \text{cm}^2 + 12 \, \text{cm}^2 = 45,75 \, \text{cm}^2 \)

Hier findest du noch einmal eine Tabelle, die alle Formeln für Flächen enthält – vom Quadrat über dein Kreis bis hin zum Drachenviereck.