Pascalsches Dreieck Erklärung – online lernen

Gleichungen vom Typ \( {T}_{1} \cdot {T}_{2} \)

Bei Gleichungen vom Typ \( {T}_{1} \cdot {T}_{2} \) handelt es sich immer um eine Gleichung mit zwei Klammern, die miteinander multipliziert werden.

Dabei gibt es drei unterschiedliche Fälle, die auftreten können:

1. \(Klammer\) \({T}_{1} \cdot Klammer\) \({T}_{2} = 0\)
2. \(Klammer\) \({T}_{1} \cdot Klammer\) \({T}_{2} = a\), wobei \(a\) für irgendeine Zahl ungleich Null steht
3. \(Klammer\) \({T}_{1} \cdot Klammer\) \({T}_{2} =\) Funktionsterm 1. oder 2. Grades

Zu 1.: Wenn wir eine Gleichung haben, die gleich Null ist, so kann man die Gleichung relativ schnell lösen. Und zwar genügt es, wenn eine der beiden Klammern gleich Null ist, damit die gesamte Gleichung gleich Null ist. Wieso? Denn wenn eine der beiden Klammern gleich Null ist, dann kann in der anderen Klammer stehen was wir wollen, das Ergebnis wäre trotzdem immer Null. Das hängt damit zusammen, dass egal, was man mit Null multipliziert immer Null herauskommt. Im 1. Fall setzen wir also nur die beiden Klammern gleich Null und lösen anschließend für die beiden Klammern jeweils die Gleichung. Bei dieser Form gibt es immer mindestens eine Lösung.

Zu 2.: In diesem Fall müssen wir zunächst die Klammern ausmultiplizieren. Dabei ist wichtig, dass alle Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden. Dabei ist besonders auf das Vorzeichen zu achten. Hier ist es hilfreich, wenn man die binomischen Formeln gut beherrscht! Nachdem wir die Klammern ausmultipliziert haben können wir, falls nötig, mit Hilfe der quadratischen Ergänzung oder der pq-Formel die Gleichung lösen. In diesem Fall kann es eine Lösung geben, jedoch kann es auch dazu kommen, dass es keine Lösungen gibt, wie z.B. bei \( {x}^{2}=-4\). Da wir die Wurzel einer negativen Zahl nicht ziehen können, gibt es hier keine Lösung.

Zu 3.: In diesem Fall müssen wir auch zunächst die Klammern ausmultiplizieren. Danach bringen wir alles auf eine Seite der Gleichung und lösen diese ggf. mit Hilfe der quadratischen Ergänzung oder der pq-Formel. In Fällen, in denen sich das \( {x}^{2} \) auf beiden Seiten gegenseitig aufhebt, ist dies jedoch nicht nötig. Dann kann man die Gleichung direkt nach \(x\)  umformen. In diesem Fall kann es zu einer, zwei oder keiner Lösung kommen.

Es sollen kurz die einzelnen Umformungen zum Lösen von Gleichungen erläutert werden:

1. Additionsregel/Subtraktionsregel

Wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, dann ändert sich die Lösungsmenge nicht. Welche Zahl wir addieren oder subtrahieren zeigen wir, indem wir die Rechenoperation hinter einem senkrechten Arbeitsstrich aufschreiben.

Beispiel: 

2. Multiplikationsregel/Divisionsregel

Wenn wir beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren, dann ändert sich die Lösungsmenge nicht. Auch diese Rechenoperation schreiben wir hinter unseren Arbeitsstrich.

Beispiel:

3. Addition oder Subtraktion eines Teilterms

Wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung einen Teilterm wie \(2x\) oder \( 5{x}^{2} \) oder \((2x+1)\)  addieren bzw. subtrahieren, dann ändert sich auch dabei die Lösungsmenge der Gleichung nicht.

Beispiel:

Vorsicht: Das Multiplizieren oder Dividieren von der Variablen \(x\) stellt meistens keine sinnvolle Umformung dar. In dem Fall, dass \(x\) dadurch komplett wegfällt, kommt man sogar zu einem falschen Ergebnis.

Beispiel:

Diese Gleichung scheint nicht lösbar, in diesem Fall gibt es also keine Lösung der Gleichung. Aber das stimmt nicht, denn zum Beispiel ist \(0\) eine Lösung dieser Gleichung. Und damit haben wir auch die Erklärung, warum wir falsch gerechnet haben. Denn dadurch, dass wir durch eine Variable teilen, die auch Null sein darf, teilen wir durch Null. Und durch Null darf man ja nicht teilen! Deshalb beim Teilen durch Variablen immer gut aufpassen!

Richtig wäre gewesen: