Differenzierbarkeit – online lernen

Differenzierbarkeit am Graph erkennen

Ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist oder nicht, kann man manchmal am Graphen erkennen.

Hat eine Funktion z.B. einen „Knick“, einen „Sprung“ oder einen eingeschränkten Definitionsbereich, so muss sie nicht überall differenzierbar sein.

Skizze:

Die Betragsfunktion f(x)=|x|=x,x≥0−x,x<0

Hat einen Knick bei x=0. Anschaulich kann dort keine Tangente angelegt werden. Im Negative lässt sich die Steigung −1 ablesen, im Positiven jedoch 1. Rechnerisch gilt, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen. Es existiert also kein Grenzwert.

Die Heavyside-Funktion 

hat bei x=0 einen Sprung. Der linksseitige Grenzwert ist 0, der rechtsseitige 1→Θ(x) ist dort nicht differenzierbar (achte auf die < bzw. > Zeichen in der Definition).

Bei der Wurzelfunktion f(x)=√x gilt für den Grenzwert bei x=0:

Der Grenzwert existiert nicht, also ist f dort nicht differenzierbar. Der Graph hat dort eine senkrechte Tangente.

Differenzierbarkeit am Graph erkennen

Ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist oder nicht, kann man manchmal am Graphen erkennen.

Hat eine Funktion z.B. einen „Knick“, einen „Sprung“ oder einen eingeschränkten Definitionsbereich, so muss sie nicht überall differenzierbar sein.

Beispiele: