Mathematik – Rationale Zahlen

Du hast in Mathematik bisher wahrscheinlich zwei Zahlenmengen kennengelernt: 

• die natürlichen Zahlen (N$\mathbb{N}$) wie 2$2$ oder 5$5$
• die ganzen Zahlen (Z$\mathbb{Z}$), zu denen auch negative Zahlen wie −3$-3$ oder −7$-7$ gehören

Natürliche Zahlen und ganze Zahlen gehören zu den rationalen Zahlen. Aber die rationalen Zahlen umfassen noch mehr Zahlen, nämlich Brüche und Dezimalzahlen. 

Wie du im Bild sehen kannst, ist das Zeichen für rationale Zahlen Q$\mathbb{Q}$.

Was bedeutet das? Ein Verhältnis kannst du als Bruch darstellen. Ein Bruch besteht aus einem Zähler (diese Zahl steht oben), einem Nenner (diese Zahl steht unten) und einem Bruchstrich dazwischen:

34${\displaystyle \frac{3}{4}}$

Du setzt damit den Zähler ins Verhältnis zum Nenner. Am Beispiel eines Kuchens wird das verständlich: Stell dir vor, du hast einen Kuchen in vier gleich große Teile (Viertel) geschnitten. Unser Bruch verrät dir jetzt, dass es insgesamt 4$4$ Teile gibt (das ist die Zahl im Nenner). Sind davon noch 3$3$ Stücke übrig, schreibst du diese Zahl in den Zähler. Du sagst: „Vom Kuchen sind noch drei Viertel übrig.“

Brüche sind also rationale Zahlen. Du kannst aber auch Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Zum Beispiel sind 34${\displaystyle \frac{3}{4}}$ als Dezimalzahl 0,75$0,75$.

Ein paar Beispiele für rationale Zahlen hast du jetzt schon gesehen. Wir schauen uns jetzt noch viele weitere an, damit du am Ende genau weißt, was rationale Zahlen sind und was nicht. 

Rationale Zahlen als Brüche

Das sind alles rationale Zahlen:

13${\displaystyle \frac{1}{3}}$

710${\displaystyle \frac{7}{10}}$

−89$-{\displaystyle \frac{8}{9}}$

In diesen Brüchen ist der Zähler (die Zahl oben) kleiner als der Nenner (die Zahl unten). Wenn es umgekehrt ist, nennt man die Brüche „unecht“:

1310${\displaystyle \frac{13}{10}}$

−75$-{\displaystyle \frac{7}{5}}$

Sie sind aber ebenso rationale Zahlen. Du kannst sie in gemischte Brüche umwandeln: 

1310=1310${\displaystyle \frac{13}{10}}=1{\displaystyle \frac{3}{10}}$

−75=−125$-{\displaystyle \frac{7}{5}}=-1{\displaystyle \frac{2}{5}}$

Das sind immer noch rationale Zahlen.

Rationale Zahlen als Dezimalzahlen

Dezimalzahlen kennst du vielleicht auch als „Kommazahlen“. Sie sind ebenfalls rationale Zahlen:

1.25$1.25$

−0.3$-0.3$

10.567$10.567$

Es kommt vor, dass Dezimalzahlen unendlich viele Stellen haben. Bei rationalen Zahlen ist es dann so, dass irgendwann in der Zahlenfolge ein Muster auftritt, das sich immer wiederholt. Weil du unendlich viele Stellen aber nicht aufschreiben kannst, setzt man stattdessen einen Strich über das Muster:

1.333333…=1.3¯¯¯$1.333333\dots =1.\overline{3}$

Jetzt weißt du, dass die Zahl am Ende unendlich oft die 3 hat, aber du musst sie nicht alle aufschreiben. Solche Zahlen heißen periodische Dezimalzahlen. Sie gehören ebenfalls zu den rationalen Zahlen. 

Natürliche und ganze Zahlen als rationale Zahlen

Auch natürliche und ganze Zahlen sind Beispiele für rationale Zahlen, denn diese beiden Zahlenmengen gehören ja in die größere Menge der rationalen Zahlen. Außerdem kannst du auch jede natürliche und jede ganze Zahl als Bruch darstellen, indem du einfach die Zahl in den Zähler und eine 1 in den Nenner schreibst:

5=51$5={\displaystyle \frac{5}{1}}$

−2=−21$-2=-{\displaystyle \frac{2}{1}}$

0=01$0={\displaystyle \frac{0}{1}}$

Deshalb sind auch 5$5$, −2$-2$ und 0$0$ Beispiele für rationale Zahlen. 

Bisher bist du in Mathe mit den natürlichen und ganzen Zahlen weit gekommen. Anders sieht das aber in deinem Alltag aus: 

• Wenn du mit Geld rechnen möchtest, brauchst du rationale Zahlen – sonst könntest du nur Dinge kaufen, die einen Euro oder zwei Euro kosten, aber nichts für 1,50€$1,50\text{€}$. 
• Du möchtest deine Körpergröße angeben? Wahrscheinlich bist du nicht genau einen oder zwei Meter groß, sondern vielleicht 1,58$1,58$ Meter – und das ist eine rationale Zahl. 
• Wie viel vom Kuchen ist noch da? Wenn es nicht der ganze ist, brauchst du rationale Zahlen wie zum Beispiel 34${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Sie sind also ziemlich praktisch!

Wie löst du jetzt Aufgaben mit rationalen Zahlen? Die gute Nachricht: Du darfst alle Grundrechenarten auch mit rationalen Zahlen anwenden. Du kannst also rationale Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. 

Wie du dabei genau vorgehst, hängt davon ab, ob du mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen rechnest. Schau dir daher gern noch einmal unsere weiterführenden Seiten dazu an, zum Beispiel unsere Seite zu den Regeln beim Bruchrechnen. 

Rationale Zahlen addieren

Die Addition rationaler Zahlen ist bei Brüchen nicht ohne Weiteres möglich. Du darfst nicht einfach 24${\displaystyle \frac{2}{4}}$ und 35${\displaystyle \frac{3}{5}}$ zusammenrechnen, sondern musst die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Das sieht so aus:

24+35=1020+1220=2220=1110=1110${\displaystyle \frac{2}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{10}{20}}+{\displaystyle \frac{12}{20}}={\displaystyle \frac{22}{20}}={\displaystyle \frac{11}{10}}=1{\displaystyle \frac{1}{10}}$

Es kann natürlich auch passieren, dass du beim Addieren rationaler Zahlen auf Dezimalzahlen stößt. Unsere Brüche von oben würden als Dezimalzahlen so aussehen:

24=0,5${\displaystyle \frac{2}{4}}=0,5$

35=0,6${\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$

Und so rechnest du sie zusammen:

0,5+0,6=1,1$0,5+0,6=1,1$

Du weißt ja schon, dass 5+6=11$5+6=11$ ist. Beim Addieren von Dezimalzahlen musst du also vor allem auf das Komma achten. 

Subtraktion rationaler Zahlen

Für die Subtraktion mit rationalen Zahlen musst du keine neuen Regeln lernen – sie funktioniert genauso wie die Addition, nur dass du eben eine Differenz bildest:

24−35=1020−1220=−220=−110${\displaystyle \frac{2}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{10}{20}}-{\displaystyle \frac{12}{20}}=-{\displaystyle \frac{2}{20}}=-{\displaystyle \frac{1}{10}}$

Mit Dezimalzahlen sieht das so aus:

0,5−0,6=−0,1$0,5-0,6=-0,1$

Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren

Bei der Multiplikation rationaler Zahlen gibt es wieder zwei Möglichkeiten: Entweder musst du mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen rechnen.

Das Multiplizieren von Brüchen ist einfach: Du rechnest einfach Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:

24⋅35=620=310${\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$

Wenn du rationale Zahlen dividieren sollst und sie als Brüche vorliegen, bildest du erst den Kehrwert des zweiten Bruchs und nimmst damit mal:

24÷35=24⋅53=1012=56${\displaystyle \frac{2}{4}}÷{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Genau erklären wir dir das auf unserer Seite zum Dividieren von Brüchen. 

Und wenn du beim Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen auf Dezimalzahlen stößt? Dann sind die Regeln für rationale Zahlen dieselben wie für ganze Zahlen, nur dass du immer gut darauf achten musst, wo das Komma steht. Dabei hilft dir ein Überschlag.

Sollst du zum Beispiel 15,6⋅4,9$15,6\cdot 4,9$ berechnen, kannst du zuerst die Zahlen 156$156$ und 49$49$ schriftlich multiplizieren:

156⋅49=7.644$156\cdot 49=7.644$

Wo kommt jetzt das Komma hin? Wenn du im Kopf 15⋅5$15\cdot 5$ rechnest (Überschlag von 15,6$15,6$ und 4,9$4,9$), dann kommst du auf 75$75$. Somit kann das Komma nur hier stehen:

15,6⋅4,9=76,44$15,6\cdot 4,9=76,44$

Genauso kannst du auch schriftlich dividieren und dann das Komma entsprechend setzen. 

Du sollst eine Übung zu rationalen Zahlen bearbeiten? Meist wirst du dazu die üblichen Rechenarten brauchen, die wir dir gerade gezeigt haben. 

Eine weitere typische Aufgabe ist, rationale Zahlen am Zahlenstrahl einzuordnen. Das ist bei Dezimalzahlen einfacher als bei Brüchen, denn die Zahl vor dem Komma verrät dir schon, wo du dich ungefähr auf dem Zahlenstrahl bewegst. Und wenn du Brüche gegeben hast? Dann kannst du einen Trick nutzen, denn du kannst jeden Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln. 

Dieser Trick hilft dir auch, wenn du rationale Zahlen ordnen sollst, also zum Beispiel von der kleinsten zur größten. Am besten lassen sich rationale Zahlen vergleichen, wenn du alle als Dezimalzahlen vor dir hast. 

Wenn du Textaufgaben zu rationalen Zahlen lösen sollst, verrät dir der Text oft schon die Informationen, die du brauchst, um Brüche aufzuschreiben. Vielleicht steht darin zum Beispiel „ein halber Kilometer“ (12${\displaystyle \frac{1}{2}}$) oder „von 18$18$ Kindern haben 5$5$ ihre Hausaufgaben nicht gemacht“ (518${\displaystyle \frac{5}{18}}$).

Du wirst später in Mathematik noch (mindestens) eine weitere Zahlenmenge kennen: die irrationalen Zahlen. 

Was unterscheidet rationale und irrationale Zahlen? Erinnere dich an die Definition für rationale Zahlen: Du kannst sie als das Verhältnis aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Bei irrationalen Zahlen geht das nicht mehr. Hier siehst du ein paar Beispiele für irrationale Zahlen:

• Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als das Verhältnis aus zwei ganzen Zahlen darstellen lassen.
• Beispiele für rationale Zahlen sind 24${\displaystyle \frac{2}{4}}$ oder 1,25$1,25$. Auch alle natürlichen und ganzen Zahlen gehören zu den rationalen Zahlen.
• Das Symbol für rationale Zahlen ist Q$\mathbb{Q}$. Du kannst mit Dezimalzahlen rechnen, wie du es gewohnt bist: addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
• Du kannst rationale Zahlen mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen darstellen. Du kannst Brüche in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt.
• Typische Übungen zu rationalen Zahlen sind, dass du die Zahlen der Größe nach ordnen oder anderweitig vergleichen sollst. Das ist am einfachsten, wenn alle Zahlen als Dezimalzahlen vorliegen.